Упр.499 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin(пи/2 + b);
3) cos (пи/2 — a);
4) cos(3пи/2 + a);
5) sina;
6) cosa.

1. Используем формулу двойного угла для синуса:

   $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$

   Тогда

   $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2}\right).$$

2. Аналогично:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+\beta\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\beta}{2}\right).$$

3. Используем формулу двойного угла для косинуса:

   $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$

   Тогда

   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right).$$

4. Получаем:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)=\cos^2\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{a}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{a}{2}\right).$$

5. Для синуса:

   $$\sin a=2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}.$$

6. Для косинуса:

   $$\cos a=\cos^2\frac{a}{2}-\sin^2\frac{a}{2}.$$

Ответ

1) $$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2}\right)$$

2) $$2\sin\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\beta}{2}\right)$$

3) $$\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)$$

4) $$\cos^2\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{a}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{a}{2}\right)$$

5) $$2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}$$

6) $$\cos^2\frac{a}{2}-\sin^2\frac{a}{2}$$