Упр.497 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$\cos 6x\cos 5x+\sin 6x\sin 5x=-1$$
2. $$\sin 3x\cos 5x-\sin 5x\cos 3x=-1$$
3. $$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\cos x=1$$
4. $$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=1$$

1) $$\cos 6x\cos 5x+\sin 6x\sin 5x=-1$$

По формуле $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ получаем:

$$\cos(6x-5x)=-1,$$

то есть

$$\cos x=-1.$$

Тогда

$$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin 3x\cos 5x-\sin 5x\cos 3x=-1$$

По формуле $$\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha=\sin(\alpha-\beta)$$ имеем:

$$\sin(3x-5x)=-1,$$

$$\sin(-2x)=-1,$$

$$-\sin 2x=-1,$$

$$\sin 2x=1.$$

Следовательно,

$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3) $$\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\cos x=1$$

Раскроем косинус суммы:

$$\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x-\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)-\cos x=1.$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$ то

$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right)-\cos x=1,$$

$$\cos x-\sin x-\cos x=1,$$

$$-\sin x=1,$$

$$\sin x=-1.$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4) $$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=1$$

Раскроем синус разности:

$$\sqrt2\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=1.$$

Подставим $$\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}:$$

$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{x}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=1,$$

$$\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=1,$$

$$\cos\frac{x}{2}=1.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{2}=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=4\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=4\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$