Упр.494 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить: 1) $$\operatorname{tg}(a+b)$$, если $$\operatorname{tg}a=-\frac{3}{4}$$ и $$\operatorname{tg}b=2{,}4$$; 2) $$\operatorname{ctg}(a-b)$$, если $$\operatorname{ctg}a=-\frac{4}{3}$$ и $$\operatorname{ctg}b=-1$$.

1) Используем формулу суммы тангенсов:

$$\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b}.$$

Так как $$\tg a=-\frac{3}{4}, \qquad \tg b=2{,}4=\frac{12}{5},$$

то

$$\tg(a+b)=\frac{-\frac{3}{4}+\frac{12}{5}}{1-\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \frac{12}{5}} =\frac{-\frac{15}{20}+\frac{48}{20}}{1+\frac{36}{20}} =\frac{\frac{33}{20}}{\frac{56}{20}} =\frac{33}{56}.$$

2) Используем формулу котангенса разности:

$$\ctg(a-b)=\frac{1+\tg a\cdot \tg b}{\tg a-\tg b}.$$

Из условия $$\ctg a=\frac{4}{3}, \qquad \ctg b=-1,$$ значит

$$\tg a=\frac{1}{\ctg a}=\frac{3}{4}, \qquad \tg b=\frac{1}{\ctg b}=-1.$$

Тогда

$$\ctg(a-b)=\frac{1+\frac{3}{4}\cdot(-1)}{\frac{3}{4}-(-1)} =\frac{1-\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}+1} =\frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} =\frac{1}{7}.$$

Ответ

1) $$\frac{33}{56}$$; 2) $$\frac{1}{7}$$.