Упр.492 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество:

1) $$\frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)}=\frac{\tan a+\tan b}{\tan a-\tan b}$$;

2) $$\frac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1}$$;

3) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos a-\sin a)$$;

4) $$\frac{\cos a\cos b}{\sin b}=\cot b-\tan a$$;

5) $$\cos a\cos b=\frac{1}{2}\bigl(\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr)$$;

6) $$\sin a\sin b=\frac{1}{2}\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr)$$.

1) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)}= \frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\sin a\cos b-\cos a\sin b}$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\cos a\cos b$$:

$$\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\sin a\cos b-\cos a\sin b} = \frac{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}}{\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}} = \frac{\tg a+\tg b}{\tg a-\tg b}$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}= \frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\sin a\sin b$$:

$$\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b} = \frac{\ctg a\ctg b+1}{\ctg a\ctg b-1}$$

Тождество доказано.

3) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos a-\sin\frac{\pi}{4}\sin a$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$ получаем:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a =\frac{\sqrt2}{2}(\cos a-\sin a)$$

Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\cos(a+b)}{\cos a\sin b} = \frac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\cos a\sin b} = \frac{\cos b}{\sin b}-\frac{\sin a}{\cos a}$$

Следовательно,

$$\frac{\cos(a+b)}{\cos a\sin b}=\ctg b-\tg a$$

Тождество доказано.

5) Раскроем скобки в правой части:

$$\frac12\bigl(\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr) = \frac12\bigl((\cos a\cos b-\sin a\sin b)+(\cos a\cos b+\sin a\sin b)\bigr)$$

$$=\frac12\cdot 2\cos a\cos b=\cos a\cos b$$

Тождество доказано.

6) Аналогично:

$$\frac12\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr) = \frac12\bigl((\cos a\cos b+\sin a\sin b)-(\cos a\cos b-\sin a\sin b)\bigr)$$

$$=\frac12\cdot 2\sin a\sin b=\sin a\sin b$$

Тождество доказано.