Упр.492 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) sin(a+b)/sin (a-b) = (tga+tgb)/(tga-tgb);
2)cos(a-b)/cos(a+b) = (ctga*ctgb+1)/(ctga*ctgb-1);
3) cos(пи/4+a) = корень 2/2 (cosa — sina);
4) cos(a+b)/cosasinb = ctgb-tga;
5) cosacosb = 1/2(cos(a+b) + cos(a-b));
6) sinasinb=1/2(cos(a-b) — cos(a+b)).

1. $$\frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)}=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\sin a\cos b-\cos a\sin b}$$
   $$=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}}{\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}}=\frac{\tg a+\tg b}{\tg a-\tg b}.$$

2. $$\frac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}$$
   $$=\frac{\frac{\cos a\cos b}{\sin a\sin b}+1}{\frac{\cos a\cos b}{\sin a\sin b}-1}=\frac{\ctg a\ctg b+1}{\ctg a\ctg b-1}.$$

3. $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos a-\sin\frac{\pi}{4}\sin a$$
   $$=\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a=\frac{\sqrt2}{2}(\cos a-\sin a).$$

4. $$\frac{\cos(a+b)}{\cos a\sin b}=\frac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\cos a\sin b}$$
   $$=\frac{\cos b}{\sin b}-\frac{\sin a}{\cos a}=\ctg b-\tg a.$$

5. $$\frac12\bigl(\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr)$$
   $$=\frac12\bigl((\cos a\cos b-\sin a\sin b)+(\cos a\cos b+\sin a\sin b)\bigr)$$
   $$=\frac12\cdot 2\cos a\cos b=\cos a\cos b.$$

6. $$\frac12\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr)$$
   $$=\frac12\bigl((\cos a\cos b+\sin a\sin b)-(\cos a\cos b-\sin a\sin b)\bigr)$$
   $$=\frac12\cdot 2\sin a\sin b=\sin a\sin b.$$

Ответ

Все тождества доказаны.