Упр.491 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) cos (а — b) — cos (а + b);
2) cos (пи/4 + а)* cos(пи/4 -a) + 1/2sin2а;
3) cos За + sin a sin 2а;
4) cos 2а — cos a cos За

1. $$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$$

   Используем формулы косинуса суммы и разности:
   $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,$$
   $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

   Тогда
   $$ \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) =\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta =2\sin\alpha\sin\beta. $$

2. $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+\frac12\sin^2\alpha$$

   По формулам:
   $$ \cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha, $$
   $$ \cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha. $$

   Тогда
   $$ \cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) =\frac12(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha) =\frac12(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha). $$

   Следовательно,
   $$ \frac12(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)+\frac12\sin^2\alpha =\frac12\cos^2\alpha. $$

3. $$\cos 3\alpha+\sin\alpha\sin 2\alpha$$

   Представим $$\cos 3\alpha$$ как $$\cos(\alpha+2\alpha)$$:
   $$ \cos(\alpha+2\alpha)=\cos\alpha\cos 2\alpha-\sin\alpha\sin 2\alpha. $$

   Тогда
   $$ \cos 3\alpha+\sin\alpha\sin 2\alpha =\cos\alpha\cos 2\alpha-\sin\alpha\sin 2\alpha+\sin\alpha\sin 2\alpha =\cos\alpha\cos 2\alpha. $$

4. $$\cos 2\alpha-\cos\alpha\cos 3\alpha$$

   Используем формулу:
   $$ \cos 3\alpha=\cos(\alpha+2\alpha)=\cos\alpha\cos 2\alpha-\sin\alpha\sin 2\alpha. $$

   Тогда
   $$ \cos 2\alpha-\cos\alpha\cos 3\alpha =\cos 2\alpha-\cos\alpha(\cos\alpha\cos 2\alpha-\sin\alpha\sin 2\alpha). $$

   Упростим:
   $$ \cos 2\alpha-\cos^2\alpha\cos 2\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\sin 2\alpha. $$

   Так как $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$ получаем
   $$ \cos 2\alpha-\cos^2\alpha\cos 2\alpha+2\sin\alpha\cos^2\alpha\sin\alpha =\cos 2\alpha(1-\cos^2\alpha)+2\sin^2\alpha\cos^2\alpha. $$

   Проще воспользоваться преобразованием:
   $$ \cos 2\alpha-\cos\alpha\cos 3\alpha =\cos 2\alpha-\cos\alpha(\cos\alpha\cos 2\alpha-\sin\alpha\sin 2\alpha) =\sin\alpha\sin 3\alpha. $$

Ответ

1) $$2\sin\alpha\sin\beta$$
2) $$\frac12\cos^2\alpha$$
3) $$\cos\alpha\cos 2\alpha$$
4) $$\sin\alpha\sin 3\alpha$$