Упр.490 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить $$\mathrm{tg}(a+b)$$, если $$\sin a=\frac{4}{5}$$, $$\frac{\pi}{2}

Так как $$\frac{\pi}{2}

$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}=-\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac35.$$

Так как $$\frac{3\pi}{2}<b<2\pi,$$ то угол $$b$$ лежит в IV четверти, значит $$\sin b<0.$$ Тогда

$$\sin b=-\sqrt{1-\cos^2 b}=-\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\sqrt{\frac{225}{289}}=-\frac{15}{17}.$$

Найдём тангенс суммы:

$$\tg(a+b)=\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}.$$

Подставим значения:

$$\tg(a+b)=\frac{\frac45\cdot\frac{8}{17}+\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)}{\left(-\frac35\right)\cdot\frac{8}{17}-\frac45\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)} =\frac{\frac{32}{85}+\frac{45}{85}}{-\frac{24}{85}+\frac{60}{85}} =\frac{\frac{77}{85}}{\frac{36}{85}} =\frac{77}{36} =2\frac{5}{36}.$$

Ответ

$$2\frac{5}{36}$$