Упр.490 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 490 Вычислить tg (a + b), если sin a=4/5, пи/2 < a < пи, и cosb=8/17, 3пи/2 < b < 2пи.

Подробный ответ

Так как $$\frac{\pi}{2}

Найдём $$\cos a$$:

$$ \cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}=-\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac35. $$

Так как $$\frac{3\pi}{2}<b<2\pi,$$ то угол $$b$$ лежит в IV четверти, значит $$\sin b<0.$$

Найдём $$\sin b$$:

$$ \sin b=-\sqrt{1-\cos^2 b}=-\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\sqrt{\frac{225}{289}}=-\frac{15}{17}. $$

Используем формулу:

$$ \tg(a+b)=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}. $$

Подставим значения:

$$ \tg(a+b)=\frac{\frac45\cdot\frac{8}{17}+\left(-\frac35\right)\left(-\frac{15}{17}\right)} {\left(-\frac35\right)\cdot\frac{8}{17}-\frac45\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)}. $$

$$ \tg(a+b)=\frac{\frac{32}{85}+\frac{45}{85}}{-\frac{24}{85}+\frac{60}{85}} =\frac{\frac{77}{85}}{\frac{36}{85}}=\frac{77}{36}=2\frac{5}{36}. $$