Упр.489 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить $$\sin(a-b)$$, если $$\cos a=-0{,}8$$, $$\frac{\pi}{2}

Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, значит $$\sin \alpha>0.$$ Тогда

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-(-0{,}8)^2}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6=\frac{3}{5}.$$

Так как $$\pi<\beta<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$\beta$$ лежит в III четверти, значит $$\cos \beta<0.$$ Тогда

$$\cos \beta=-\sqrt{1-\sin^2\beta}=-\sqrt{1-\left(-\frac{12}{13}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{144}{169}}=-\sqrt{\frac{25}{169}}=-\frac{5}{13}.$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.$$

Подставим найденные значения:

$$\sin(\alpha-\beta)=\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)-(-0{,}8)\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{3}{13}-\frac{12}{13}\cdot\frac{4}{5}=-\frac{3}{13}-\frac{48}{65}=-\frac{63}{65}.$$

Ответ

$$-\frac{63}{65}$$