Упр.486 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Вычислить:

1. 1) $$\sin\left(a+\frac{\pi}{6}\right)$$, если $$\cos a=-\frac{3}{5}$$ и $$\pi2) $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)$$, если $$\sin a=\frac{\sqrt{2}}{3}$$ и $$\frac{\pi}{2}

1) Так как $$\cos a=-\frac{3}{5}$$ и $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в III четверти, значит $$\sin a<0$$.

Найдём $$\sin a$$:

$$\sin a=-\sqrt{1-\cos^2 a} =-\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{9}{25}} =-\sqrt{\frac{16}{25}} =-\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\sin\left(a+\frac{\pi}{6}\right) =\sin a\cos\frac{\pi}{6}+\cos a\sin\frac{\pi}{6} =-\frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{1}{2} =-\frac{4\sqrt{3}+3}{10}.$$

2) Так как $$\sin a=\frac{\sqrt{2}}{3}$$ и $$\frac{\pi}{2}<a<\pi,$$ то угол $$a$$ лежит во II четверти, значит $$\cos a<0$$.

Найдём $$\cos a$$:

$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{2}{9}} =-\sqrt{\frac{7}{9}} =-\frac{\sqrt{7}}{3}.$$

Тогда

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right) =\sin\frac{\pi}{4}\cos a-\cos\frac{\pi}{4}\sin a =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3} =-\frac{\sqrt{14}+2}{6}.$$

Ответ

1) $$-\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$$; 2) $$-\frac{\sqrt{14}+2}{6}$$.