Упр.484 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить выражение:

1. $$\cos 3a\cos a-\sin a\sin 3a$$;
2. $$\cos 5b\cos 2b+\sin 5b\sin 2b$$;
3. $$\cos\left(\frac{\pi}{7}+a\right)\cos\left(\frac{5\pi}{14}-a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}+a\right)\sin\left(\frac{5\pi}{14}-a\right)$$;
4. $$\cos\left(\frac{7\pi}{5}+a\right)\cos\left(\frac{2\pi}{5}+a\right)+\sin\left(\frac{7\pi}{5}+a\right)\sin\left(\frac{2\pi}{5}-a\right)$$.

Используем формулы:

$$\cos x \cos y — \sin x \sin y = \cos(x+y),$$

$$\cos x \cos y + \sin x \sin y = \cos(x-y).$$

1. $$\cos 3a \cos a — \sin a \sin 3a = \cos(3a+a)=\cos 4a.$$

2. $$\cos 5b \cos 2b + \sin 5b \sin 2b = \cos(5b-2b)=\cos 3b.$$

3. $$\cos\left(\frac{\pi}{7}+a\right)\cos\left(\frac{5\pi}{14}-a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{7}+a\right)\sin\left(\frac{5\pi}{14}-a\right)$$

   $$=\cos\left(\frac{\pi}{7}+a+\frac{5\pi}{14}-a\right)=\cos\left(\frac{2\pi}{14}+\frac{5\pi}{14}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0.$$

4. $$\cos\left(\frac{7\pi}{5}+a\right)\cos\left(\frac{2\pi}{5}+a\right)+\sin\left(\frac{7\pi}{5}+a\right)\sin\left(\frac{2\pi}{5}+a\right)$$

   $$=\cos\left(\frac{7\pi}{5}+a-\frac{2\pi}{5}-a\right)=\cos\pi=-1.$$

Ответ: 1) $$\cos 4a$$; 2) $$\cos 3b$$; 3) $$0$$; 4) $$-1$$.