Упр.483 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Вычислить:
1) $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$$, если $$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ и $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$;
2) $$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$$, если $$\cos\alpha=-\frac{1}{3}$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$.
1) Так как $$\sin a=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в I четверти, значит
$$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac13}=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}.$$
Тогда
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos a-\sin\frac{\pi}{3}\sin a$$
$$=\frac12\cdot\frac{\sqrt6}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt6}{6}-\frac12.$$
2) Так как $$\cos a=-\frac13$$ и $$\frac{\pi}{2}<a<\pi,$$ то угол $$a$$ лежит во II четверти, значит
$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(-\frac13\right)^2}=\sqrt{1-\frac19}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$
Тогда
$$\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\cos a\cos\frac{\pi}{4}+\sin a\sin\frac{\pi}{4}$$
$$=-\frac13\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2}{6}+\frac23=\frac{4-\sqrt2}{6}.$$
Ответ: 1) $$\frac{\sqrt6}{6}-\frac12$$; 2) $$\frac{4-\sqrt2}{6}$$.
