Упр.480 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) sin (-х) = 1;
2) cos(-2x) =0;
3) cos (-2х) =1;
4) sin(-2x) = 0;
5) cos2 (-х) + sin (-х) = 2 — sin2x;
6) 1-sin2(-x) + cos(4пи — x) cos(x-2пи).

1. $$\sin(-x)=1$$
   
   Так как $$\sin(-x)=-\sin x,$$ получаем
   $$-\sin x=1,$$
   $$\sin x=-1.$$
   Тогда
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
2. $$\cos(-2x)=0$$
   
   Так как $$\cos(-2x)=\cos 2x,$$ имеем
   $$\cos 2x=0.$$
   Отсюда
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
   значит
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$
3. $$\cos(-2x)=1$$
   
   Так как $$\cos(-2x)=\cos 2x,$$ получаем
   $$\cos 2x=1.$$
   Тогда
   $$2x=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
   откуда
   $$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
4. $$\sin(-2x)=0$$
   
   Так как $$\sin(-2x)=-\sin 2x,$$ имеем
   $$-\sin 2x=0,$$
   $$\sin 2x=0.$$
   Следовательно,
   $$2x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
   значит
   $$x=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$
5. $$\cos^2(-x)+\sin(-x)=2-\sin^2 x$$
   
   Используем тождества $$\cos(-x)=\cos x$$ и $$\sin(-x)=-\sin x$$:
   $$\cos^2 x-\sin x=2-\sin^2 x.$$
   Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$ получаем
   $$1-\sin^2 x-\sin x=2-\sin^2 x,$$
   $$1-\sin x=2,$$
   $$\sin x=-1.$$
   Тогда
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
6. $$1-\sin^2(-x)+\cos(4\pi-x)=\cos(x-2\pi)$$
   
   Преобразуем выражения:
   $$\sin^2(-x)=\sin^2 x,\quad \cos(4\pi-x)=\cos x,\quad \cos(x-2\pi)=\cos x.$$
   Тогда
   $$1-\sin^2 x+\cos x=\cos x,$$
   $$1-\sin^2 x=0,$$
   $$\sin^2 x=1.$$
   Следовательно,
   $$\sin x=\pm 1.$$
   Отсюда
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$$

3) $$x=\pi k$$

4) $$x=\frac{\pi k}{2}$$

5) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$

6) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k$$

$$k\in\mathbb Z$$