Упр.480 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить уравнение:
- $$\sin(-x)=1$$;
- $$\cos(-2x)=0$$;
- $$\cos(-2x)=1$$;
- $$\sin(-2x)=0$$;
- $$\cos^2(-x)+\sin(-x)=2-\sin^2 x$$;
- $$1-\sin^2(-x)+\cos(4\pi-x)\cos(x-2\pi)$$.
1) $$\sin(-x)=1$$
$$-\sin x=1$$
$$\sin x=-1$$
Отсюда
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
2) $$\cos(-2x)=0$$
$$\cos 2x=0$$
Тогда
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$
3) $$\cos(-2x)=1$$
$$\cos 2x=1$$
Следовательно,
$$2x=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
значит
$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
4) $$\sin(-2x)=0$$
$$-\sin 2x=0$$
$$\sin 2x=0$$
Тогда
$$2x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$
5) $$\cos^2(-x)+\sin(-x)=2-\sin^2 x$$
Так как $$\cos(-x)=\cos x$$ и $$\sin(-x)=-\sin x,$$ получаем
$$\cos^2 x-\sin x=2-\sin^2 x.$$
Используем тождество $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$1-\sin^2 x-\sin x=2-\sin^2 x.$$
$$1-\sin x=2$$
$$\sin x=-1.$$
Следовательно,
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
6) $$1-\sin^2(-x)+\cos(4\pi-x)=\cos(x-2\pi)$$
Преобразуем выражения:
$$\sin^2(-x)=\sin^2 x,\qquad \cos(4\pi-x)=\cos x,\qquad \cos(x-2\pi)=\cos x.$$
Тогда
$$1-\sin^2 x+\cos x=\cos x.$$
$$1-\sin^2 x=0$$
$$\sin^2 x=1$$
$$\sin x=\pm 1.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$$
3) $$x=\pi k$$
4) $$x=\frac{\pi k}{2}$$
5) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$
6) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k$$, $$k\in\mathbb Z$$
