Упр.479 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать тождество: $$\cos a\cdot\sin(6\pi-a)\cdot\left(1+\operatorname{ctg}^2(-a)\right)=\operatorname{ctg}(-a)$$

1) Преобразуем левую часть:

$$\cos a \cdot \sin(6\pi-a)\cdot \left(1+\ctg^2(-a)\right)$$

Так как $$\sin(6\pi-a)=\sin(-a)=-\sin a$$, а $$\ctg(-a)=-\ctg a$$, то

$$\cos a \cdot (-\sin a)\cdot \left(1+\ctg^2 a\right)$$

Используем тождество $$1+\ctg^2 a=\dfrac{1}{\sin^2 a}$$:

$$-\cos a \sin a \cdot \frac{1}{\sin^2 a} = -\frac{\cos a}{\sin a} = -\ctg a$$

Следовательно,

$$\cos a \cdot \sin(6\pi-a)\cdot \left(1+\ctg^2(-a)\right)=\ctg(-a).$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-\sin^2(-a)}{\cos(4\pi-a)}\cdot \frac{\sin(a-2\pi)}{1-\cos^2(-a)}$$

Так как $$\sin(-a)=-\sin a$$, $$\cos(4\pi-a)=\cos a$$, $$\sin(a-2\pi)=\sin a$$, $$\cos(-a)=\cos a$$, получаем:

$$\frac{1-\sin^2 a}{\cos a}\cdot \frac{\sin a}{1-\cos^2 a}$$

Используем формулы $$1-\sin^2 a=\cos^2 a$$ и $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$:

$$\frac{\cos^2 a}{\cos a}\cdot \frac{\sin a}{\sin^2 a} = \cos a \cdot \frac{1}{\sin a} = \frac{\cos a}{\sin a} = \ctg a$$

Тождество доказано.