Упр.478 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить выражение:

1. $$\frac{\sin^3(-a)+\cos^3(-a)}{1-\sin(-a)\cdot\cos(-a)}$$
2. $$\frac{(1-\sin a+\cos(-a))^2}{-\sin(-a)}$$

1) $$\frac{\sin^3(-a)+\cos^3(-a)}{1-\sin(-a)\cos(-a)}=\frac{-\sin^3 a+\cos^3 a}{1+\sin a\cos a}$$

Используем формулу суммы кубов:

$$\cos^3 a-\sin^3 a=(\cos a-\sin a)(\cos^2 a+\cos a\sin a+\sin^2 a)$$

Тогда

$$\frac{(\cos a-\sin a)(\cos^2 a+\cos a\sin a+\sin^2 a)}{1+\sin a\cos a}$$

Так как $$\cos^2 a+\sin^2 a=1,$$ получаем

$$\frac{(\cos a-\sin a)(1+\sin a\cos a)}{1+\sin a\cos a}=\cos a-\sin a.$$

Ответ: $$\cos a-\sin a$$

2) $$\frac{1-(\sin a+\cos(-a))^2}{-\sin(-a)}=\frac{1-(\sin a+\cos a)^2}{\sin a}$$

Раскроем квадрат:

$$\frac{1-\left(\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a\right)}{\sin a}$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ имеем

$$\frac{1-1-2\sin a\cos a}{\sin a}=\frac{-2\sin a\cos a}{\sin a}=-2\cos a.$$

Ответ: $$-2\cos a$$