Упр.474 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение:
   
   1) $$2\sin x+\sin^2 x+\cos^2 x=1$$;
   
   2) $$2\sin^2 x+3\cos^2 x-2=0$$;
   
   3) $$3\cos^2 x-2\sin x=3-3\sin^2 x$$;
   
   4) $$\cos^2 x-\sin^2 x=2\sin x-1-2\sin^2 x$$.

1) $$2\sin x+\sin^2 x+\cos^2 x=1$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$2\sin x+1=1,$$

$$2\sin x=0,$$

$$\sin x=0.$$

Тогда

$$x=\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

2) $$2\sin^2 x+3\cos^2 x-2=0$$

Используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$2\sin^2 x+3\cos^2 x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0,$$

$$\cos^2 x=0,$$

$$\cos x=0.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

3) $$3\cos^2 x-2\sin x=3-3\sin^2 x$$

Преобразуем правую часть:

$$3\cos^2 x-2\sin x=3(1-\sin^2 x).$$

Тогда

$$3\cos^2 x-2\sin x=3\cos^2 x,$$

$$-2\sin x=0,$$

$$\sin x=0.$$

Значит,

$$x=\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

4) $$\cos^2 x-\sin^2 x=2\sin x-1-2\sin^2 x$$

Перенесём слагаемые и воспользуемся тождеством $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$\cos^2 x+\sin^2 x=2\sin x-1,$$

$$1=2\sin x-1,$$

$$2\sin x=2,$$

$$\sin x=1.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Ответ:

1) $$x=\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

3) $$x=\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

4) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in \mathbb Z$$