Упр.473 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что $$\operatorname{tg} a+\operatorname{ctg} a=3$$. Найти $$\operatorname{tg}^2 a+\operatorname{ctg}^2 a$$.

Используем тождество:

$$\tg^2 \alpha+\ctg^2 \alpha=(\tg \alpha+\ctg \alpha)^2-2\tg \alpha\cdot \ctg \alpha.$$

Так как $$\tg \alpha+\ctg \alpha=3,$$ а также $$\tg \alpha\cdot \ctg \alpha=1,$$ то

$$\tg^2 \alpha+\ctg^2 \alpha=3^2-2\cdot 1=9-2=7.$$

Ответ: $$7$$.