Упр.470 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Доказать тождество:
- $$\left(1-\cos 2a\right)\left(1+\cos 2a\right)=\sin^2 2a$$;
- $$\frac{\sin a-1}{\cos^2 a}=-\frac{1}{1+\sin a}$$;
- $$\cos^4 a-\sin^4 a=\cos^2 a-\sin^2 a$$;
- $$\left(\sin^2 a-\cos^2 a\right)^2+2\cos^2 a\sin^2 a=\sin^4 a+\cos^4 a$$;
- $$\frac{\sin a}{1+\cos a}+\frac{1+\cos a}{\sin a}=\frac{2}{\sin a}$$;
- $$\frac{\sin a}{1-\cos a}=\frac{1+\cos a}{\sin a}$$;
- $$\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2 a}+\frac{1}{1+\operatorname{ctg}^2 a}=1$$;
- $$\operatorname{tg}^2 a-\sin^2 a=\operatorname{tg}^2 a\sin^2 a$$.
1) $$\begin{aligned}(1-\cos 2a)(1+\cos 2a)&=1-\cos^2 2a\\&=\sin^2 2a.\end{aligned}$$
Тождество доказано.
2) $$\begin{aligned}\frac{\sin a-1}{\cos^2 a}&=\frac{\sin a-1}{1-\sin^2 a}\\&=\frac{\sin a-1}{(1-\sin a)(1+\sin a)}\\&=-\frac{1}{1+\sin a}.\end{aligned}$$
Тождество доказано.
3) $$\begin{aligned}\cos^4 a-\sin^4 a&=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)\\&=\cos^2 a-\sin^2 a.\end{aligned}$$
Тождество доказано.
4) $$\begin{aligned}(\sin^2 a-\cos^2 a)^2+2\cos^2 a\sin^2 a&=\sin^4 a-2\sin^2 a\cos^2 a+\cos^4 a+2\sin^2 a\cos^2 a\\&=\sin^4 a+\cos^4 a.\end{aligned}$$
Тождество доказано.
5) $$\begin{aligned}\frac{\sin a}{1+\cos a}+\frac{1+\cos a}{\sin a}&=\frac{\sin^2 a+(1+\cos a)^2}{(1+\cos a)\sin a}\\&=\frac{\sin^2 a+1+2\cos a+\cos^2 a}{(1+\cos a)\sin a}\\&=\frac{2(1+\cos a)}{(1+\cos a)\sin a}\\&=\frac{2}{\sin a}.\end{aligned}$$
Тождество доказано.
6) $$\begin{aligned}\frac{\sin a}{1-\cos a}&=\frac{\sin a(1+\cos a)}{(1-\cos a)(1+\cos a)}\\&=\frac{\sin a(1+\cos a)}{1-\cos^2 a}\\&=\frac{\sin a(1+\cos a)}{\sin^2 a}\\&=\frac{1+\cos a}{\sin a}.\end{aligned}$$
Тождество доказано.
7) $$\begin{aligned}\frac{1}{1+\tg^2 a}+\frac{1}{1+\ctg^2 a}&=\cos^2 a+\sin^2 a\\&=1.\end{aligned}$$
Тождество доказано.
8) $$\begin{aligned}\tg^2 a-\sin^2 a&=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}-\sin^2 a\\&=\sin^2 a\left(\frac{1}{\cos^2 a}-1\right)\\&=\sin^2 a\cdot\frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a}\\&=\sin^2 a\cdot\tg^2 a.\end{aligned}$$
Тождество доказано.
