Упр.469 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) (1+tg2a)cos2a-1;
2) 1- sin2a(1+ctga);
3) 1+tg2a + 1/sin2a;
4) (1+tg2a)/(1+ctg2a).

1. $$\left(1+\tg^2 a\right)\cos^2 a-1=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\cos^2 a}\cos^2 a-1=1-1=0.$$

2. $$1-\sin^2 a\left(1+\ctg^2 a\right)=1-\sin^2 a\cdot\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin^2 a}=1-1=0.$$

3. $$1+\tg^2 a+\frac{1}{\sin^2 a}=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\cos^2 a}+\frac{1}{\sin^2 a}=\frac{1}{\cos^2 a}+\frac{1}{\sin^2 a}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{1}{\cos^2 a}+\frac{1}{\sin^2 a}=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin^2 a\cos^2 a}=\frac{1}{\sin^2 a\cos^2 a}.$$

4. $$\frac{1+\tg^2 a}{1+\ctg^2 a}=\frac{\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\cos^2 a}}{\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin^2 a}}=\frac{1/\cos^2 a}{1/\sin^2 a}=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\tg^2 a.$$

Ответ

1) $$0$$; 2) $$0$$; 3) $$\frac{1}{\sin^2 a\cos^2 a}$$; 4) $$\tg^2 a$$.