Упр.468 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать тождество: 1) $$(1-\sin^2\alpha)(1+\tan^2\alpha)=1$$; 2) $$\sin^2\alpha(1+\cot^2\alpha)-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$$.

1) Преобразуем левую часть, используя тождество $$1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}$$:

$$(1-\sin^2 a)(1+\tg^2 a)=\cos^2 a\cdot \frac{1}{\cos^2 a}=1.$$

Тождество доказано.

2) Используем формулу $$1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}$$:

$$\sin^2 a(1+\ctg^2 a)-\cos^2 a =\sin^2 a\cdot \frac{1}{\sin^2 a}-\cos^2 a =1-\cos^2 a =\sin^2 a.$$

Тождество доказано.