Упр.467 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) (sin2a — 1)/(1-cos2a) при a=пи/4;
2) cos2a + ctg2a + sin2a при a=пи/6;
3) 1/cos2a — 1при a=пи/3;
4) cos2 а + tg2 a ctg2 а0 + sin2 а при a=пи/3.

1. $$\frac{\sin^2 a-1}{1-\cos^2 a}=\frac{\sin^2 a-(\sin^2 a+\cos^2 a)}{(\sin^2 a+\cos^2 a)-\cos^2 a}=\frac{-\cos^2 a}{\sin^2 a}=-\ctg^2 a.$$

   При $$a=\frac{\pi}{4}$$ имеем:
   $$-\ctg^2\frac{\pi}{4}=-1^2=-1.$$

2. $$\cos^2 a+\ctg^2 a+\sin^2 a=(\cos^2 a+\sin^2 a)+\ctg^2 a=1+\ctg^2 a.$$

   При $$a=\frac{\pi}{6}$$:
   $$1+\ctg^2\frac{\pi}{6}=1+(\sqrt{3})^2=1+3=4.$$

3. $$\frac{1}{\cos^2 a}-1=\frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a}=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\tg^2 a.$$

   При $$a=\frac{\pi}{3}$$:
   $$\tg^2\frac{\pi}{3}=(\sqrt{3})^2=3.$$

4. $$\cos^2 a+\tg^2 a\cdot\ctg^2 a+\sin^2 a=\cos^2 a+1+\sin^2 a=1+(\cos^2 a+\sin^2 a)=2.$$

   Значение не зависит от $$a$$, поэтому при $$a=\frac{\pi}{3}$$ оно также равно $$2$$.

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$4$$; 3) $$3$$; 4) $$2$$.