Упр.467 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение и найти его значение:
   1) $$\frac{\sin^2 a-1}{1-\cos^2 a}$$ при $$a=\frac{\pi}{4}$$;
   2) $$\cos^2 a+\operatorname{ctg}^2 a+\sin^2 a$$ при $$a=\frac{\pi}{6}$$;
   3) $$\frac{1}{\cos^2 a}-1$$ при $$a=\frac{\pi}{3}$$;
   4) $$\cos^2 a+\operatorname{tg}^2 a\operatorname{ctg}^2 a+\sin^2 a$$ при $$a=\frac{\pi}{3}$$.

1) $$\frac{\sin^2 a-1}{1-\cos^2 a}=\frac{\sin^2 a-(\sin^2 a+\cos^2 a)}{(\sin^2 a+\cos^2 a)-\cos^2 a}=\frac{-\cos^2 a}{\sin^2 a}=-\ctg^2 a.$$

При $$a=\frac{\pi}{4}$$ получаем:

$$-\ctg^2\frac{\pi}{4}=-1^2=-1.$$

Ответ: $$-1$$

2) $$\cos^2 a+\tg^2 a+\sin^2 a=1+\tg^2 a.$$

При $$a=\frac{\pi}{6}$$:

$$1+\tg^2\frac{\pi}{6}=1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=1+\frac13=\frac43.$$

Ответ: $$\frac43$$

3) $$\frac{1}{\cos^2 a}-1=\frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a}=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\tg^2 a.$$

При $$a=\frac{\pi}{3}$$:

$$\tg^2\frac{\pi}{3}=(\sqrt{3})^2=3.$$

Ответ: $$3$$

4) $$\cos^2 a+\tg^2 a\cdot\ctg^2 a+\sin^2 a=1+1=2.$$

Значение выражения не зависит от $$a$$.

Ответ: $$2$$