Упр.465 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) (1-cosa)(1+cosa) = sin2a;
2) (1-sina)(1+sina) = cos2a;
3) sin2a/(1-sin2a) = tg2a;
4) cos2a/(1-cos2a) = ctg2a;
5) 1/(1+tg2a) + sin2a =1;
6) 1/(1+ctg2a) + cos2a=1.

1. $$ (1-\cos a)(1+\cos a)=1-\cos^2 a $$
   $$ 1-\cos^2 a=\sin^2 a $$
   Следовательно,
   $$ (1-\cos a)(1+\cos a)=\sin^2 a. $$

2. $$ (1-\sin a)(1+\sin a)=1-\sin^2 a $$
   $$ 1-\sin^2 a=\cos^2 a $$
   Следовательно,
   $$ (1-\sin a)(1+\sin a)=\cos^2 a. $$

3. $$ \frac{\sin^2 a}{1-\sin^2 a}=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} $$
   $$ \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\left(\frac{\sin a}{\cos a}\right)^2=\tg^2 a $$
   Значит,
   $$ \frac{\sin^2 a}{1-\sin^2 a}=\tg^2 a. $$

4. $$ \frac{\cos^2 a}{1-\cos^2 a}=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} $$
   $$ \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}=\left(\frac{\cos a}{\sin a}\right)^2=\ctg^2 a $$
   Следовательно,
   $$ \frac{\cos^2 a}{1-\cos^2 a}=\ctg^2 a. $$

5. $$ \frac{1}{1+\tg^2 a}+\sin^2 a=1 $$
   Так как
   $$ 1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}, $$
   то
   $$ \frac{1}{1+\tg^2 a}=\cos^2 a. $$
   Тогда
   $$ \cos^2 a+\sin^2 a=1. $$

6. $$ \frac{1}{1+\ctg^2 a}+\cos^2 a=1 $$
   Так как
   $$ 1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}, $$
   то
   $$ \frac{1}{1+\ctg^2 a}=\sin^2 a. $$
   Тогда
   $$ \sin^2 a+\cos^2 a=1. $$

Ответ

Все тождества верны.