Упр.464 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) sin а * cos а; 2) sin3а + cos3а.

Пусть $$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}.$$

1) Найдём $$\sin \alpha \cdot \cos \alpha.$$ Используем формулу:

$$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2=\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha. $$

Так как $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1,$$ то

$$ 2\sin \alpha \cos \alpha=(\sin \alpha+\cos \alpha)^2-1=\left(\frac{1}{2}\right)^2-1=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}. $$

Следовательно,

$$ \sin \alpha \cos \alpha=-\frac{3}{8}. $$

2) Найдём $$\sin^3 \alpha+\cos^3 \alpha.$$ Используем формулу суммы кубов:

$$ \sin^3 \alpha+\cos^3 \alpha=(\sin \alpha+\cos \alpha)\left(\sin^2 \alpha-\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha\right). $$

Тогда

$$ \sin^3 \alpha+\cos^3 \alpha=\frac{1}{2}\left(1-\sin \alpha \cos \alpha\right) =\frac{1}{2}\left(1- \left(-\frac{3}{8}\right)\right) =\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{8} =\frac{11}{16}. $$

Ответ

$$-\frac{3}{8};\ \frac{11}{16}.$$