Упр.463 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) (ctga+ tga)/(ctga-tga);
2) (sina- cosa)/(sina + cosa);
3) (2sina+ 3cosa)/(3sina-5cosa);
4) (sin2a+ 2cos2a)/(sin2a-cos2a).

1. Так как $$\tg \alpha = 2,$$ то $$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}=\frac{1}{2}.$$ Тогда

   $$ \frac{\ctg \alpha+\tg \alpha}{\ctg \alpha-\tg \alpha} = \frac{\frac12+2}{\frac12-2} = \frac{\frac52}{-\frac32} = -\frac53. $$

2. Разделим числитель и знаменатель на $$\cos \alpha$$:

   $$ \frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-1}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+1} = \frac{\tg \alpha-1}{\tg \alpha+1}. $$

   Подставим $$\tg \alpha=2$$:

   $$ \frac{2-1}{2+1}=\frac13. $$

3. Разделим числитель и знаменатель на $$\cos \alpha$$:

   $$ \frac{2\sin \alpha+3\cos \alpha}{3\sin \alpha-5\cos \alpha} = \frac{2\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+3}{3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-5} = \frac{2\tg \alpha+3}{3\tg \alpha-5}. $$

   Подставим $$\tg \alpha=2$$:

   $$ \frac{2\cdot 2+3}{3\cdot 2-5} = \frac{7}{1} =7. $$

4. Разделим числитель и знаменатель на $$\cos^2 \alpha$$:

   $$ \frac{\sin^2 \alpha+2\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}+2}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}-1} = \frac{\tg^2 \alpha+2}{\tg^2 \alpha-1}. $$

   Подставим $$\tg \alpha=2$$:

   $$ \frac{2^2+2}{2^2-1} = \frac{6}{3} =2. $$

Ответ

1) $$-\frac53$$; 2) $$\frac13$$; 3) $$7$$; 4) $$2$$.