Упр.461 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Могут ли одновременно выполняться равенства: 1) $$\sin a=\frac{1}{5}$$ и $$\tg a=\frac{1}{\sqrt{24}}$$; 2) $$\ctg a=\frac{\sqrt{7}}{3}$$ и $$\cos a=\frac{3}{4}$$?

1) Проверим, могут ли одновременно выполняться равенства $$\sin a=\frac{1}{5}$$ и $$\tg a=\frac{1}{\sqrt{24}}.$$

Найдём $$\cos a$$:

$$\cos a=\frac{\sin a}{\tg a}=\frac{1/5}{1/\sqrt{24}}=\frac{\sqrt{24}}{5}.$$

Проверим тождество $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$:

$$\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{24}}{5}\right)^2=\frac{1}{25}+\frac{24}{25}=1.$$

Значит, равенства могут выполняться одновременно.

2) Проверим, могут ли одновременно выполняться равенства $$\ctg a=\frac{\sqrt{7}}{3}$$ и $$\cos a=\frac{3}{4}.$$

Найдём $$\sin a$$:

$$\sin a=\frac{\cos a}{\ctg a}=\frac{3/4}{\sqrt{7}/3}=\frac{9}{4\sqrt{7}}.$$

Проверим тождество:

$$\sin^2 a+\cos^2 a=\left(\frac{9}{4\sqrt{7}}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{81}{112}+\frac{9}{16}=\frac{81}{112}+\frac{63}{112}=\frac{144}{112}\ne 1.$$

Следовательно, эти равенства одновременно выполняться не могут.

Ответ: 1) могут; 2) не могут.