Упр.459 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$\cos a=\frac{5}{13},\quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi$$

Точка лежит в IV четверти, значит $$\sin a<0.$$ Тогда

$$\sin a=-\sqrt{1-\cos^2 a} =-\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} =-\sqrt{\frac{144}{169}} =-\frac{12}{13}.$$

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{-12/13}{5/13} =-\frac{12}{5}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a} =-\frac{5}{12}.$$

2) $$\sin a=0{,}8,\quad \frac{\pi}{2}<a<\pi$$

Точка лежит во II четверти, значит $$\cos a<0.$$ Тогда

$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-0{,}8^2} =-\sqrt{0{,}36} =-0{,}6=-\frac{3}{5}.$$

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{4/5}{-3/5} =-\frac{4}{3}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a} =-\frac{3}{4}.$$

3) $$\tg a=\frac{15}{8},\quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}$$

Точка лежит в III четверти, значит $$\sin a<0,\ \cos a<0.$$ Тогда

$$\cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{15}{8}\right)^2}} =-\frac{8}{17}.$$

$$\sin a=\tg a\cdot \cos a =\frac{15}{8}\cdot\left(-\frac{8}{17}\right) =-\frac{15}{17}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a}=\frac{8}{15}.$$

4) $$\ctg a=-3,\quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi$$

Точка лежит в IV четверти, значит $$\sin a<0,\ \cos a>0.$$ Найдём сначала $$\tg a$$:

$$\tg a=\frac{1}{\ctg a}=-\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$\cos a=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{1}{3}\right)^2}} =\frac{3}{\sqrt{10}},$$

$$\sin a=\cos a\cdot \tg a =\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) =-\frac{1}{\sqrt{10}}.$$

5) $$\cos a=0{,}8,\quad 0<a<\frac{\pi}{2}$$

Точка лежит в I четверти, значит все функции положительны. Тогда

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a} =\sqrt{1-0{,}8^2} =\sqrt{0{,}36} =0{,}6=\frac{3}{5}.$$

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{3/5}{4/5} =\frac{3}{4}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a} =\frac{4}{3}.$$

6) $$\sin a=-\frac{5}{13},\quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi$$

Точка лежит в IV четверти, значит $$\cos a>0.$$ Тогда

$$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a} =\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13}.$$

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{-5/13}{12/13} =-\frac{5}{12}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a} =-\frac{12}{5}.$$

7) $$\tg a=-2{,}4,\quad \frac{\pi}{2}<a<\pi$$

Точка лежит во II четверти, значит $$\sin a>0,\ \cos a<0.$$ Представим

$$\tg a=-2{,}4=-\frac{12}{5}.$$

Тогда

$$\cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{12}{5}\right)^2}} =-\frac{5}{13},$$

$$\sin a=\tg a\cdot \cos a =-\frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{5}{13}\right) =\frac{12}{13}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a} =-\frac{5}{12}.$$

8) $$\ctg a=\frac{7}{24},\quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}$$

Точка лежит в III четверти, значит $$\sin a<0,\ \cos a<0.$$ Найдём сначала $$\tg a$$:

$$\tg a=\frac{1}{\ctg a}=\frac{24}{7}.$$

Тогда

$$\cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{24}{7}\right)^2}} =-\frac{7}{25},$$

$$\sin a=\tg a\cdot \cos a =\frac{24}{7}\cdot\left(-\frac{7}{25}\right) =-\frac{24}{25}.$$

Ответ

1) $$\sin a=-\frac{12}{13},\ \tg a=-\frac{12}{5},\ \ctg a=-\frac{5}{12}.$$

2) $$\cos a=-\frac{3}{5},\ \tg a=-\frac{4}{3},\ \ctg a=-\frac{3}{4}.$$

3) $$\cos a=-\frac{8}{17},\ \sin a=-\frac{15}{17},\ \ctg a=\frac{8}{15}.$$

4) $$\sin a=-\frac{1}{\sqrt{10}},\ \cos a=\frac{3}{\sqrt{10}},\ \tg a=-\frac{1}{3}.$$

5) $$\sin a=\frac{3}{5},\ \tg a=\frac{3}{4},\ \ctg a=\frac{4}{3}.$$

6) $$\cos a=\frac{12}{13},\ \tg a=-\frac{5}{12},\ \ctg a=-\frac{12}{5}.$$

7) $$\sin a=\frac{12}{13},\ \cos a=-\frac{5}{13},\ \ctg a=-\frac{5}{12}.$$

8) $$\sin a=-\frac{24}{25},\ \cos a=-\frac{7}{25},\ \tg a=\frac{24}{7}.$$