Упр.459 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) cosa=5/13 и 3пи/2 < a < 2пи; 2) sina=0,8 и пи/2 < a < пи; 3) tga=15/8 и пи < a < 3пи/2; 4) ctga=-3 и 3пи/2 < a < 2пи; 5) cosa=0,8 и 0 < a < пи/2; 6) sina=-5/13 и 3пи/2 < a < 2пи; 7) tga=-2,4 и пи/2 < a < пи; 8) ctga=7/24 и пи < a < 3пи/2.
$$\cos a=\frac{5}{13}, \quad \frac{3\pi}{2}
Точка в IV четверти, значит $$\sin a<0$$.
$$ \sin a=-\sqrt{1-\cos^2 a} =-\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} =-\sqrt{\frac{144}{169}} =-\frac{12}{13} $$
$$ \tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{-12/13}{5/13} =-\frac{12}{5} $$
$$ \ctg a=\frac{1}{\tg a}=-\frac{5}{12} $$
$$\sin a=0{,}8, \quad \frac{\pi}{2}<a<\pi$$
Точка во II четверти, значит $$\cos a<0$$.
$$ \cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-0{,}8^2} =-\sqrt{0{,}36} =-0{,}6 $$
$$ \tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{0{,}8}{-0{,}6} =-\frac{4}{3} $$
$$ \ctg a=\frac{1}{\tg a}=-\frac{3}{4} $$
$$\tg a=\frac{15}{8}, \quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}$$
Точка в III четверти, значит $$\sin a<0$$ и $$\cos a<0$$.
$$ \cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{15}{8}\right)^2}} =-\frac{1}{\sqrt{\frac{289}{64}}} =-\frac{8}{17} $$
$$ \sin a=\tg a\cdot \cos a =\frac{15}{8}\cdot\left(-\frac{8}{17}\right) =-\frac{15}{17} $$
$$ \ctg a=\frac{1}{\tg a}=\frac{8}{15} $$
$$\ctg a=-3, \quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi$$
Точка в IV четверти, значит $$\sin a<0$$, $$\cos a>0$$.
$$ \tg a=\frac{1}{\ctg a}=-\frac{1}{3} $$
$$ \cos a=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{1}{3}\right)^2}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{9}}} =\frac{3}{\sqrt{10}} $$
$$ \sin a=\cos a\cdot \tg a =\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) =-\frac{1}{\sqrt{10}} $$
$$\cos a=0{,}8, \quad 0<a<\frac{\pi}{2}$$
Точка в I четверти, значит все функции положительны.
$$ \sin a=\sqrt{1-\cos^2 a} =\sqrt{1-0{,}8^2} =\sqrt{0{,}36} =0{,}6 $$
$$ \tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{0{,}6}{0{,}8} =\frac{3}{4} $$
$$ \ctg a=\frac{1}{\tg a}=\frac{4}{3} $$
$$\sin a=-\frac{5}{13}, \quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi$$
Точка в IV четверти, значит $$\cos a>0$$.
$$ \cos a=\sqrt{1-\sin^2 a} =\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13} $$
$$ \tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{-5/13}{12/13} =-\frac{5}{12} $$
$$ \ctg a=\frac{1}{\tg a}=-\frac{12}{5} $$
$$\tg a=-2{,}4, \quad \frac{\pi}{2}<a<\pi$$
Точка во II четверти, значит $$\sin a>0$$, $$\cos a<0$$.
$$ \tg a=-2{,}4=-\frac{12}{5} $$
$$ \cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{12}{5}\right)^2}} =-\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{25}}} =-\frac{5}{13} $$
$$ \sin a=\tg a\cdot \cos a =\left(-\frac{12}{5}\right)\cdot\left(-\frac{5}{13}\right) =\frac{12}{13} $$
$$ \ctg a=\frac{1}{\tg a}=-\frac{5}{12} $$
$$\ctg a=\frac{7}{24}, \quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}$$
Точка в III четверти, значит $$\sin a<0$$ и $$\cos a<0$$.
$$ \tg a=\frac{1}{\ctg a}=\frac{24}{7} $$
$$ \cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{24}{7}\right)^2}} =-\frac{1}{\sqrt{\frac{625}{49}}} =-\frac{7}{25} $$
$$ \sin a=\tg a\cdot \cos a =\frac{24}{7}\cdot\left(-\frac{7}{25}\right) =-\frac{24}{25} $$
Ответ
1) $$\sin a=-\frac{12}{13},\ \tg a=-\frac{12}{5},\ \ctg a=-\frac{5}{12}$$;
2) $$\cos a=-\frac{3}{5},\ \tg a=-\frac{4}{3},\ \ctg a=-\frac{3}{4}$$;
3) $$\cos a=-\frac{8}{17},\ \sin a=-\frac{15}{17},\ \ctg a=\frac{8}{15}$$;
4) $$\tg a=-\frac{1}{3},\ \sin a=-\frac{1}{\sqrt{10}},\ \cos a=\frac{3}{\sqrt{10}}$$;
5) $$\sin a=\frac{3}{5},\ \tg a=\frac{3}{4},\ \ctg a=\frac{4}{3}$$;
6) $$\cos a=\frac{12}{13},\ \tg a=-\frac{5}{12},\ \ctg a=-\frac{12}{5}$$;
7) $$\cos a=-\frac{5}{13},\ \sin a=\frac{12}{13},\ \ctg a=-\frac{5}{12}$$;
8) $$\tg a=\frac{24}{7},\ \sin a=-\frac{24}{25},\ \cos a=-\frac{7}{25}$$.
