Упр.458 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить: 1) $$\sin a$$, $$\operatorname{tg} a$$ и $$\operatorname{ctg} a$$, если $$\cos a=-\frac{3}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2}

1) Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то угол лежит во II четверти, значит $$\sin \alpha>0.$$

Найдём синус по формуле $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.$$ Тогда

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2 \alpha} =\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{9}{25}} =\sqrt{\frac{16}{25}} =\frac{4}{5}.$$

Теперь вычислим тангенс и котангенс:

$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{4/5}{-3/5} =-\frac{4}{3},$$

$$\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha} =\frac{1}{-4/3} =-\frac{3}{4}.$$

2) Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то угол лежит в III четверти, значит $$\cos \alpha<0.$$

Найдём косинус по формуле $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.$$ Тогда

$$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2 \alpha} =-\sqrt{1-\left(-\frac{2}{5}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{4}{25}} =-\sqrt{\frac{21}{25}} =-\frac{\sqrt{21}}{5}.$$

Теперь вычислим тангенс и котангенс:

$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{-2/5}{-\sqrt{21}/5} =\frac{2}{\sqrt{21}},$$

$$\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha} =\frac{1}{2/\sqrt{21}} =\frac{\sqrt{21}}{2}.$$

Ответ

1) $$\sin \alpha=\frac{4}{5},\ \tg \alpha=-\frac{4}{3},\ \ctg \alpha=-\frac{3}{4}.$$

2) $$\cos \alpha=-\frac{\sqrt{21}}{5},\ \tg \alpha=\frac{2}{\sqrt{21}},\ \ctg \alpha=\frac{\sqrt{21}}{2}.$$