Упр.457 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1. $$\sin a=\frac{\sqrt{2}}{3}$$ и $$\cos a=\frac{\sqrt{3}}{3}$$;
2. $$\sin a=-\frac{4}{5}$$ и $$\cos a=-\frac{3}{5}$$;
3. $$\sin a=-\frac{\sqrt{3}}{5}$$ и $$\cos a=\frac{\sqrt{23}}{5}$$;
4. $$\sin a=0{,}2$$ и $$\cos a=0{,}8$$?

Проверим каждую пару значений по основному тригонометрическому тождеству $$\sin^2 a+\cos^2 a=1.$$

1. $$\sin a=\frac{\sqrt2}{3},\qquad \cos a=\frac{\sqrt3}{3}.$$

   Тогда

   $$\sin^2 a+\cos^2 a=\left(\frac{\sqrt2}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2=\frac{2}{9}+\frac{3}{9}=\frac{5}{9}\ne 1.$$

   Одновременно такие равенства выполняться не могут.

2. $$\sin a=-\frac45,\qquad \cos a=-\frac35.$$

   Тогда

   $$\sin^2 a+\cos^2 a=\left(-\frac45\right)^2+\left(-\frac35\right)^2=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1.$$

   Одновременно такие равенства могут выполняться.

3. $$\sin a=-\frac{\sqrt3}{5},\qquad \cos a=\frac{\sqrt{23}}{5}.$$

   Тогда

   $$\sin^2 a+\cos^2 a=\left(-\frac{\sqrt3}{5}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{23}}{5}\right)^2=\frac{3}{25}+\frac{23}{25}=\frac{26}{25}\ne 1.$$

   Одновременно такие равенства выполняться не могут.

4. $$\sin a=0{,}2,\qquad \cos a=0{,}8.$$

   Тогда

   $$\sin^2 a+\cos^2 a=(0{,}2)^2+(0{,}8)^2=0{,}04+0{,}64=0{,}68\ne 1.$$

   Одновременно такие равенства выполняться не могут.

Ответ: 1) не могут; 2) могут; 3) не могут; 4) не могут.