Упр.45 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение:

1. $$\sqrt[6]{2x-3}$$;
2. $$\sqrt[6]{x+3}$$;
3. $$\sqrt[6]{2x^2-x-1}$$;
4. $$\sqrt[4]{\frac{2-3x}{2x-4}}$$.

1) Для выражения $$\sqrt[6]{2x-3}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$2x-3 \ge 0$$

$$2x \ge 3$$

$$x \ge \frac{3}{2}$$

Ответ: $$x \ge \frac{3}{2}$$

2) Для выражения $$\sqrt[6]{x+3}$$ имеем:

$$x+3 \ge 0$$

$$x \ge -3$$

Ответ: $$x \ge -3$$

3) Для выражения $$\sqrt[6]{2x^2-x-1}$$ нужно, чтобы

$$2x^2-x-1 \ge 0$$

Найдём корни уравнения $$2x^2-x-1=0$$:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$

$$x_1=1,\quad x_2=-\frac{1}{2}$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$2x^2-x-1 \ge 0 \quad \text{при} \quad x \le -\frac{1}{2} \ \text{или} \ x \ge 1$$

Ответ: $$x \in (-\infty;-\frac{1}{2}] \cup [1;+\infty)$$

4) Для выражения $$\sqrt[4]{\frac{2-3x}{2x-4}}$$ требуется

$$\frac{2-3x}{2x-4} \ge 0,\quad 2x-4 \ne 0$$

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:

$$2-3x=0 \Rightarrow x=\frac{2}{3}, \qquad 2x-4=0 \Rightarrow x=2$$

Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака. Проверка даёт:

$$\frac{2-3x}{2x-4} \ge 0 \quad \text{при} \quad \frac{2}{3} \le x < 2$$

Ответ: $$x \in \left[\frac{2}{3};2\right)$$