Упр.416 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $$\left(1; 0\right)$$ на угол: 1) $$4\pi$$; 2) $$-\frac{3\pi}{2}$$; 3) $$-6{,}5\pi$$; 4) $$\frac{\pi}{4}$$; 5) $$\frac{\pi}{3}$$; 6) $$-45$$.

1) $$4\pi=2\pi\cdot 2,$$ значит, после двух полных оборотов точка вернётся в исходное положение.

Ответ: $$(1;\,0).$$

2) $$-\frac{3\pi}{2}=-2\pi+\frac{\pi}{2},$$ поэтому поворот равносилен повороту на $$\frac{\pi}{2}$$ против часовой стрелки.

Ответ: $$(0;\,1).$$

3) $$-6{,}5\pi=-6\pi-\frac{\pi}{2},$$ значит, это поворот на $$\frac{\pi}{2}$$ по часовой стрелке.

Ответ: $$(0;\,-1).$$

4) При повороте на $$\frac{\pi}{4}$$ получаем точку первой четверти, для которой $$x=y$$ и $$x^2+y^2=1$$.

Тогда

$$x^2+x^2=1 \\\\ 2x^2=1 \\\\ x^2=\frac12 \\\\ x=\frac{\sqrt2}{2},\quad y=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Ответ: $$\left(\frac{\sqrt2}{2};\,\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

5) При повороте на $$\frac{\pi}{3}$$ точка также попадает в первую четверть. Тогда

$$x=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\qquad y=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Ответ: $$\left(\frac12;\,\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

6) $$-45^\circ$$ — это поворот на $$45^\circ$$ по часовой стрелке, значит, точка окажется в четвертой четверти, где $$x>0,\ y<0$$ и $$|x|=|y|$$.

Из уравнения единичной окружности

$$x^2+y^2=1 \\\\ x^2+x^2=1 \\\\ 2x^2=1 \\\\ x=\frac{\sqrt2}{2},\quad y=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Ответ: $$\left(\frac{\sqrt2}{2};\,-\frac{\sqrt2}{2}\right).$$