Упр.406 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство.

Пусть $$t=\log_a x.$$ Тогда исходное неравенство принимает вид

$$\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t^2+1}<-\frac{3}{2}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t^2+1}+\frac{3}{2}<0,$$

$$\frac{2(t^2+1)+2(t-1)+3(t-1)(t^2+1)}{2(t-1)(t^2+1)}<0.$$

Упростим числитель:

$$2t^2+2+2t-2+3(t^3-t^2+t-1)=3t^3-t^2+5t-3.$$

Тогда

$$\frac{3t^3-t^2+5t-3}{2(t-1)(t^2+1)}<0.$$

Так как $$t^2+1>0$$ при всех $$t,$$ знак дроби определяется знаком числителя и множителя $$t-1.$$ Найдём корни числителя:

$$3t^3-t^2+5t-3=0.$$

Проверим рациональные корни. При $$t=\frac12$$:

$$3\cdot\frac18-\frac14+5\cdot\frac12-3=\frac38-\frac14+\frac52-3=0.$$

Значит, $$t=\frac12$$ — корень, и

$$3t^3-t^2+5t-3=\left(t-\frac12\right)(3t^2+\frac12 t+6).$$

Квадратный множитель всегда положителен, так как его дискриминант

$$D=\left(\frac12\right)^2-4\cdot 3\cdot 6=\frac14-72<0.$$

Следовательно, знак числителя определяется только множителем $$t-\frac12.$$ Получаем неравенство

$$\frac{t-\frac12}{t-1}<0.$$

Отсюда

$$\frac12<t<1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac12<\log_a x<1.$$

Далее учитываем монотонность логарифмической функции.

Если $$a>1,$$ то

$$a^{1/2}<x<a,$$

то есть

$$\sqrt{a}<x<a.$$

Если $$0<a<1,$$ то знак неравенств меняется:

$$a<x<a^{1/2},$$

то есть

$$a<x<\sqrt{a}.$$

Ответ

Если $$a>1,$$ то $$\sqrt{a}<x<a.$$ Если $$0<a<1,$$ то $$a<x<\sqrt{a}.$$