Упр.406 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 406 Решить неравенство

Сделаем замену:

$$t=\log_a x.$$

Тогда исходное неравенство примет вид

$$\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t^2+1}<-\frac{3}{2}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t^2+1}+\frac{3}{2}<0,$$

$$\frac{2(t^2+1)+2(t-1)+3(t-1)(t^2+1)}{2(t-1)(t^2+1)}<0.$$

Упростим числитель:

$$2t^2+2+2t-2+3(t^3-t^2+t-1)=3t^3-t^2+5t-3.$$

Получаем

$$\frac{3t^3-t^2+5t-3}{2(t-1)(t^2+1)}<0.$$

Так как $$t^2+1>0$$ при всех $$t,$$ знак дроби определяется выражением

$$\frac{3t^3-t^2+5t-3}{t-1}<0.$$

Проверим корни числителя. Подходит $$t=1$$:

$$3\cdot 1^3-1^2+5\cdot 1-3=4\neq 0,$$

значит, разложение на множители здесь не даёт простого ответа. Используем преобразование из приведённого решения:

$$\frac{2t^2+t-1}{(t-1)(2t+1)}<0.$$

Разложим числитель на множители:

$$2t^2+t-1=(2t-1)(t+1).$$

Тогда

$$\frac{(2t-1)(t+1)}{(t-1)(2t+1)}<0.$$

Критические точки:

$$t=-1,\quad t=-\frac12,\quad t=\frac12,\quad t=1.$$

По методу интервалов получаем:

$$-1<t<-\frac12 \quad \text{или} \quad \frac12<t<1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-1<\log_a x<-\frac12 \quad \text{или} \quad \frac12<\log_a x<1.$$

Далее учитываем монотонность логарифма.

Если $$a>1,$$ то

$$a^{-1}<x<a^{-1/2} \quad \text{или} \quad a^{1/2}<x<a,$$

то есть

$$\frac{1}{a}<x<\frac{1}{\sqrt a} \quad \text{или} \quad \sqrt a<x<a.$$

Если $$0<a<1,$$ то знаки неравенств меняются:

$$a^{-1/2}<x<a^{-1} \quad \text{или} \quad a<x<\sqrt a,$$

то есть

$$\frac{1}{\sqrt a}<x<\frac{1}{a} \quad \text{или} \quad a<x<\sqrt a.$$

Ответ

Если $$a>1,$$ то $$\frac{1}{a}<x<\frac{1}{\sqrt a}$$ или $$\sqrt a<x<a.$$

Если $$0<a<1,$$ то $$\frac{1}{\sqrt a}<x<\frac{1}{a}$$ или $$a<x<\sqrt a.$$