Упр.405 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

log2 х * log2 (х — 3) + 1 = log2 (х2 — Зх).

Область определения:

$$ x>0,\quad x-3>0,\quad x^2-3x>0. $$
Из последнего неравенства получаем $$x(x-3)>0$$, а с учётом $$x>0$$ имеем $$x>3$$.

Преобразуем уравнение:

$$ \log_2 x\cdot \log_2(x-3)+1=\log_2(x^2-3x) $$
$$ \log_2 x\cdot \log_2(x-3)+1=\log_2 x+\log_2(x-3) $$
$$ \log_2 x\cdot \log_2(x-3)-\log_2 x-\log_2(x-3)+1=0 $$
$$ (\log_2 x-1)(\log_2(x-3)-1)=0. $$

Тогда:

$$ \log_2 x-1=0 \quad \Rightarrow \quad \log_2 x=1 \quad \Rightarrow \quad x=2, $$
но $$x=2$$ не подходит, так как $$x>3$$.

$$ \log_2(x-3)-1=0 \quad \Rightarrow \quad \log_2(x-3)=1 \quad \Rightarrow \quad x-3=2 \quad \Rightarrow \quad x=5. $$

Проверка: $$5>3$$, значит найденное значение подходит.

Ответ

$$x=5$$