Упр.404 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$\log_{\frac{1}{3}}\left(2^{x+2}-4x\right)\geq -2$$;
2. $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}\left(6^{x+1}-36x\right)\geq -2$$.

1) Рассмотрим неравенство

$$\log_{\frac13}\left(2^{x+2}-4^x\right)\ge -2.$$

Так как основание логарифма $$\frac13<1,$$ то при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

$$2^{x+2}-4^x\le \left(\frac13\right)^{-2}=9.$$

Положим $$t=2^x,$$ тогда $$4^x=2^{2x}=t^2,$$ и получаем

$$4t-t^2\le 9,$$

или

$$t^2-4t+9\ge 0.$$

Дискриминант:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 9=16-36=-20<0.$$

Значит, $$t^2-4t+9>0$$ при всех $$t,$$ и остаётся только область определения логарифма:

$$2^{x+2}-4^x>0.$$

Тогда

$$4\cdot 2^x-2^{2x}>0,$$

$$2^x(4-2^x)>0.$$

Так как $$2^x>0,$$ то

$$4-2^x>0,$$

$$2^x<4=2^2,$$

откуда

$$x<2.$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\log_{\frac1{\sqrt5}}\left(6^{x+1}-36^x\right)\ge -2.$$

Переходим к показательной форме. Так как $$\frac1{\sqrt5}<1,$$ знак неравенства меняется:

$$6^{x+1}-36^x\le \left(\frac1{\sqrt5}\right)^{-2}=5.$$

Положим $$t=6^x,$$ тогда $$36^x=6^{2x}=t^2,$$ и получаем

$$6t-t^2\le 5,$$

или

$$t^2-6t+5\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$t^2-6t+5=(t-1)(t-5).$$

Тогда

$$t\le 1 \quad \text{или} \quad t\ge 5.$$

С учётом области определения логарифма:

$$6^{x+1}-36^x>0,$$

$$6^x(6-6^x)>0,$$

$$6^x<6,$$

то есть

$$x<1.$$

Теперь возвращаемся к переменной $$x$$:

1) $$6^x\le 1 \Rightarrow x\le 0.$$

2) $$6^x\ge 5 \Rightarrow x\ge \log_6 5,$$ при этом из ОДЗ ещё нужно $$x<1.$$

Итак,

$$x\le 0 \quad \text{или} \quad \log_6 5\le x<1.$$

Ответ

1) $$x<2.$$
2) $$x\le 0,\ \log_6 5\le x<1.$$