Упр.404 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) log1/3(2^(x+2) — 4x) > =-2;
2) log1/корень 5(6^(x+1) — 36x) > =-2.

1. $$\log_{\frac13}\left(2^{x+2}-4^x\right)\ge -2$$

   Так как $$\frac13<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

   $$2^{x+2}-4^x\le \left(\frac13\right)^{-2}=9.$$

   Преобразуем:

   $$2^{x+2}-4^x=4\cdot 2^x-2^{2x}.$$

   Сделаем замену $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и $$4t-t^2\le 9.$$

   Получаем:

   $$t^2-4t+9\ge 0.$$

   Дискриминант:

   $$D=16-36=-20<0.$$

   Так как старший коэффициент положителен, то $$t^2-4t+9>0$$ при всех $$t.$$ Значит, остаётся только область определения:

   $$2^{x+2}-4^x>0,$$

   $$4\cdot 2^x-2^{2x}>0,$$

   $$2^x(4-2^x)>0.$$

   Так как $$2^x>0,$$ то

   $$4-2^x>0,$$

   $$2^x<4=2^2,$$

   $$x<2.$$

2. $$\log_{\frac1{\sqrt5}}\left(6^{x+1}-36^x\right)\ge -2$$

   Так как $$\frac1{\sqrt5}<1,$$ получаем:

   $$6^{x+1}-36^x\le \left(\frac1{\sqrt5}\right)^{-2}=5.$$

   Преобразуем выражение:

   $$6^{x+1}-36^x=6\cdot 6^x-6^{2x}.$$

   Сделаем замену $$t=6^x,$$ тогда $$t>0.$$ Имеем:

   $$6t-t^2\le 5,$$

   $$t^2-6t+5\ge 0.$$

   Разложим на множители:

   $$\left(t-1\right)\left(t-5\right)\ge 0.$$

   Отсюда

   $$t\le 1 \quad \text{или} \quad t\ge 5.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$6^x\le 1 \Rightarrow x\le 0,$$

   $$6^x\ge 5 \Rightarrow x\ge \log_6 5.$$

   Проверим область определения:

   $$6^{x+1}-36^x>0,$$

   $$6\cdot 6^x-6^{2x}>0,$$

   $$6^x(6-6^x)>0,$$

   $$6^x<6,$$

   $$x<1.$$

   С учётом ОДЗ получаем:

   $$x\le 0 \quad \text{или} \quad \log_6 5\le x<1.$$

Ответ

1) $$x<2$$;

2) $$x\le 0 \cup \left[\log_6 5,\,1\right).$$