Упр.403 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) log1-x(3 — x) = log3- x (1 — x);
3) log2 (2X + 1) * log2 (2^(x+ 1) + 2) = 2;
4) log3х + 7 (5x + 3) = 2 — log5x + з (3x + 7).

Подробный ответ

$$\log_2(2^x-5)-\log_2(2^x-2)=2-x$$
ОДЗ: $$2^x-5>0,\quad 2^x-2>0.$$
Объединим логарифмы:
$$\log_2\frac{2^x-5}{2^x-2}=2-x=\log_2 2^{\,2-x}.$$
Тогда
$$\frac{2^x-5}{2^x-2}=2^{2-x}.$$
Положим $$y=2^x$$. Получим:
$$\frac{y-5}{y-2}=\frac{4}{y}.$$
$$y(y-5)=4(y-2)$$
$$y^2-9y+8=0$$
$$y=1 \text{ или } y=8.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$y=8$$, значит
$$2^x=8,\quad x=3.$$
$$\log_{1-x}(3-x)=\log_{3-x}(1-x)$$
ОДЗ: $$1-x>0,\;1-x\ne1,\;3-x>0,\;3-x\ne1.$$
Используем свойство:
$$\log_a b=\frac{1}{\log_b a}.$$
Тогда
$$\log_{1-x}(3-x)=\frac{1}{\log_{3-x}(1-x)}.$$
Обозначим $$t=\log_{1-x}(3-x)$$. Тогда
$$t=\frac{1}{t},\quad t^2=1,\quad t=\pm1.$$
Если $$t=1$$, то
$$\log_{1-x}(3-x)=1 \Rightarrow 3-x=1-x,$$
что невозможно.
Если $$t=-1$$, то
$$\log_{1-x}(3-x)=-1 \Rightarrow 3-x=(1-x)^{-1}.$$
Тогда
$$ (3-x)(1-x)=1 $$
$$x^2-4x+2=0.$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=2\pm\sqrt2.$$
По ОДЗ подходит только $$x=2-\sqrt2.$$
$$\log_2(2^x+1)\cdot \log_2(2^{x+1}+2)=2$$
Заметим, что
$$2^{x+1}+2=2(2^x+1).$$
Тогда
$$\log_2(2^{x+1}+2)=\log_2\bigl(2(2^x+1)\bigr)=1+\log_2(2^x+1).$$
Пусть $$t=\log_2(2^x+1)$$. Получаем:
$$t(1+t)=2$$
$$t^2+t-2=0$$
$$t=1 \text{ или } t=-2.$$
Если $$t=1$$, то
$$\log_2(2^x+1)=1 \Rightarrow 2^x+1=2 \Rightarrow 2^x=1 \Rightarrow x=0.$$
Если $$t=-2$$, то
$$2^x+1=2^{-2}=\frac14,$$
что невозможно.
$$\log_{3x+7}(5x+3)=2-\log_{5x+3}(3x+7)$$
Пусть $$t=\log_{3x+7}(5x+3)$$. Тогда
$$\log_{5x+3}(3x+7)=\frac{1}{t},$$
и уравнение принимает вид
$$t=2-\frac{1}{t}.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-2t+1=0$$
$$ (t-1)^2=0,\quad t=1.$$
Тогда
$$\log_{3x+7}(5x+3)=1 \Rightarrow 5x+3=3x+7.$$
$$2x=4,\quad x=2.$$
Проверка ОДЗ выполняется.