Упр.403 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{2}(2x-5)-\log_{2}(2x-2)=2-x$$
2. $$\log_{1-x}(3-x)=\log_{3-x}(1-x)$$
3. $$\log_{2}(2x+1)\cdot\log_{2}\left(2^{x+1}+2\right)=2$$
4. $$\log_{3x+7}(5x+3)=2-\log_{5x+3}(3x+7)$$

1) $$\log_2(2^x-5)-\log_2(2^x-2)=2-x$$

ОДЗ:

$$2^x-5>0,\qquad 2^x-2>0.$$

Тогда

$$\log_2\frac{2^x-5}{2^x-2}=2-x,$$

$$\frac{2^x-5}{2^x-2}=2^{2-x}.$$

Положим $$y=2^x$$. Получим

$$\frac{y-5}{y-2}=\frac{4}{y},$$

$$y(y-5)=4(y-2),$$

$$y^2-9y+8=0,$$

$$(y-1)(y-8)=0.$$

Отсюда $$y=1$$ или $$y=8$$. С учётом ОДЗ $$y>5$$ подходит только $$y=8$$.

$$2^x=8,\qquad x=3.$$

2) $$\log_{1-x}(3-x)=\log_{3-x}(1-x)$$

ОДЗ:

$$1-x>0,\quad 1-x\ne 1,\quad 3-x>0,\quad 3-x\ne 1.$$

То есть $$x<1,\ x\ne 0.$$

Пусть

$$a=1-x,\qquad b=3-x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\log_a b=\log_b a.$$

Но $$\log_b a=\dfrac{1}{\log_a b}$$, значит

$$\log_a b=\frac{1}{\log_a b}.$$

Обозначим $$t=\log_a b$$. Тогда

$$t=\frac{1}{t},\qquad t^2=1,\qquad t=\pm 1.$$

Если $$t=1$$, то $$b=a$$, то есть

$$3-x=1-x,$$

что невозможно.

Если $$t=-1$$, то

$$\log_{1-x}(3-x)=-1,$$

$$3-x=(1-x)^{-1},$$

$$(3-x)(1-x)=1,$$

$$x^2-4x+2=0.$$

$$D=16-8=8,$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt8}{2}=2\pm\sqrt2.$$

С ОДЗ подходит только $$x=2-\sqrt2$$.

3) $$\log_2(2^x+1)\cdot \log_2(2^{x+1}+2)=2$$

Заметим, что

$$2^{x+1}+2=2(2^x+1).$$

Тогда

$$\log_2(2^{x+1}+2)=\log_2\bigl(2(2^x+1)\bigr)=1+\log_2(2^x+1).$$

Пусть

$$t=\log_2(2^x+1).$$

Получаем

$$t(1+t)=2,$$

$$t^2+t-2=0,$$

$$(t-1)(t+2)=0.$$

Значит, $$t=1$$ или $$t=-2$$.

Если $$t=1$$, то

$$\log_2(2^x+1)=1,$$

$$2^x+1=2,$$

$$2^x=1,\qquad x=0.$$

Если $$t=-2$$, то

$$2^x+1=2^{-2}=\frac14,$$

что невозможно.

Следовательно, $$x=0$$.

4) $$\log_{3x+7}(5x+3)=2-\log_{5x+3}(3x+7)$$

Пусть

$$t=\log_{3x+7}(5x+3).$$

Тогда

$$\log_{5x+3}(3x+7)=\frac{1}{t},$$

и уравнение принимает вид

$$t=2-\frac{1}{t}.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-2t+1=0,$$

$$(t-1)^2=0,$$

$$t=1.$$

Тогда

$$\log_{3x+7}(5x+3)=1,$$

$$5x+3=3x+7,$$

$$2x=4,\qquad x=2.$$

Проверка ОДЗ:

$$3x+7>0,\quad 3x+7\ne 1,\quad 5x+3>0,\quad 5x+3\ne 1.$$

При $$x=2$$ все условия выполняются.

Ответ

1) $$x=3$$; 2) $$x=2-\sqrt2$$; 3) $$x=0$$; 4) $$x=2$$.