Упр.402 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

• $$3+2\log_{x+1}3=2\log_3(x+1)$$
• $$1+2\log_{x+2}5=\log_5(x+2)$$

1) Обозначим $$t=\log_3(x+1).$$ Тогда уравнение примет вид

$$3+2\cdot \frac{1}{t}=2t.$$

Умножим на $$t$$:

$$3t+2=2t^2,$$

$$2t^2-3t-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25,$$

$$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$

Отсюда

$$t_1=2,\qquad t_2=-\frac12.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_3(x+1)=2 \Rightarrow x+1=3^2=9 \Rightarrow x=8,$$

$$\log_3(x+1)=-\frac12 \Rightarrow x+1=3^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt3} \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt3}-1.$$

Область определения: $$x+1>0,$$ то есть $$x>-1.$$ Оба корня подходят.

2) Обозначим $$t=\log_5(x+2).$$ Тогда

$$1+2\cdot \frac{1}{t}=t.$$

Умножим на $$t$$:

$$t+2=t^2,$$

$$t^2-t-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

Получаем

$$t_1=2,\qquad t_2=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_5(x+2)=2 \Rightarrow x+2=5^2=25 \Rightarrow x=23,$$

$$\log_5(x+2)=-1 \Rightarrow x+2=5^{-1}=\frac15 \Rightarrow x=-\frac95.$$

Область определения: $$x+2>0,$$ то есть $$x>-2.$$ Оба корня подходят.

Ответ

1) $$x=\frac{1}{\sqrt3}-1,\; 8.$$
2) $$x=-\frac95,\; 23.$$