Упр.399 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 399 Найти три последовательных члена геометрической прогрессии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 399 1111

Пусть три последовательных члена геометрической прогрессии равны $$a,\; aq,\; aq^2.$$ Тогда по условию

$$a+aq+aq^2=62.$$

Сумма десятичных логарифмов равна 3:

$$\lg a+\lg (aq)+\lg (aq^2)=3.$$

Сгруппируем логарифмы:

$$\lg a+\lg a+\lg q+\lg a+2\lg q=3,$$

или

$$3\lg a+3\lg q=3,$$

$$3\lg (aq)=3,$$

$$\lg (aq)=1,$$

откуда

$$aq=10.$$

Тогда $$a=\dfrac{10}{q}.$$ Подставим в первое уравнение:

$$\frac{10}{q}(1+q+q^2)=62,$$

$$10+10q+10q^2=62q,$$

$$10q^2-52q+10=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=52^2-4\cdot 10\cdot 10=2704-400=2304,$$

$$\sqrt{D}=48.$$

Тогда

$$q_1=\frac{52-48}{20}=\frac15,\qquad q_2=\frac{52+48}{20}=5.$$

Если $$q=\frac15,$$ то

$$a=\frac{10}{1/5}=50,$$

и члены прогрессии:

$$50,\;10,\;2.$$

Если $$q=5,$$ то

$$a=\frac{10}{5}=2,$$

и члены прогрессии:

$$2,\;10,\;50.$$

В обоих случаях получаем одни и те же три числа.

Ответ

$$2,\;10,\;50.$$