Упр.398 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то их логарифмы по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию.

Пусть $$a_1, a_2, \ldots$$ — геометрическая прогрессия из положительных чисел. Тогда для её знаменателя $$q$$ имеем

$$a_{n+1}=a_nq.$$

Рассмотрим последовательность $$\log_b a_1,\ \log_b a_2,\ \ldots$$, где $$b>0,\ b\ne 1$$.

Тогда

$$\log_b a_{n+1}=\log_b(a_nq)=\log_b a_n+\log_b q.$$

Следовательно, разность соседних членов этой последовательности постоянна:

$$\log_b a_{n+1}-\log_b a_n=\log_b q.$$

Значит, последовательность логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Ответ

Логарифмы членов геометрической прогрессии по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию, так как $$\log_b a_{n+1}-\log_b a_n=\log_b q=\text{const}.$$