Упр.397 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$4\log(x)-33\log_x(4)\le 1$$
2. $$\log_x(3)\le 4\left(+\log_{\frac{1}{3}}(x)\right)$$

1) Рассмотрим неравенство $$4\log_4 x-33\log_x 4\le 1.$$

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_x 4=\frac{\log_4 4}{\log_4 x}=\frac{1}{\log_4 x}.$$

Тогда

$$4\log_4 x-\frac{33}{\log_4 x}-1\le 0.$$

Положим $$y=\log_4 x.$$ Тогда получаем

$$4y-\frac{33}{y}-1\le 0,$$

$$\frac{4y^2-y-33}{y}\le 0.$$

Найдём корни числителя:

$$D=1+4\cdot 4\cdot 33=529,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 23}{8}.$$

Отсюда

$$y_1=-\frac{11}{4},\qquad y_2=3.$$

Решаем неравенство методом интервалов:

$$\frac{(4y-11)(y+ \frac{11}{4})(y-3)}{y}\le 0,$$

или, учитывая знак коэффициента, получаем

$$y\le -\frac{11}{4}\quad \text{или}\quad 0<y\le 3.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$\log_4 x\le -\frac{11}{4}\quad \Rightarrow\quad 0<x\le 4^{-11/4},$$

$$0<\log_4 x\le 3\quad \Rightarrow\quad 1<x\le 64.$$

Следовательно,

$$0<x\le 4^{-11/4}\quad \text{или}\quad 1<x\le 64.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\log_x 3\le 4\left(1+\log_{1/3}x\right).$$

Преобразуем логарифмы:

$$\log_x 3=\frac{1}{\log_3 x},\qquad \log_{1/3}x=-\log_3 x.$$

Тогда

$$\frac{1}{\log_3 x}\le 4\left(1-\log_3 x\right).$$

Положим $$y=\log_3 x.$$ Тогда

$$\frac{1}{y}\le 4(1-y),$$

$$\frac{1-4y+4y^2}{y}\le 0,$$

$$\frac{(2y-1)^2}{y}\le 0.$$

Числитель неотрицателен при любых $$y$$, значит неравенство возможно только при

$$y<0$$

или при

$$y=\frac12.$$

Возвращаясь к $$x$$, получаем:

$$\log_3 x<0 \Rightarrow 0<x<1,$$

$$\log_3 x=\frac12 \Rightarrow x=\sqrt3.$$

Итак,

$$0<x<1\quad \text{или}\quad x=\sqrt3.$$

Ответ

1) $$0<x\le 4^{-11/4}$$ или $$1<x\le 64$$; 2) $$0<x<1$$ или $$x=\sqrt3$$.