Упр.397 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) logx(3) < = 4(+log1/3(x)).

1. Решим неравенство $$4\log_4 x-33\log_x 4\le 1.$$

   Используем формулу перехода к новому основанию:

   $$\log_x 4=\frac{1}{\log_4 x}.$$

   Тогда при $$x>0,\ x\ne 1$$ получаем:

   $$4\log_4 x-\frac{33}{\log_4 x}-1\le 0.$$

   Положим $$y=\log_4 x$$. Тогда

   $$4y-\frac{33}{y}-1\le 0,$$

   $$\frac{4y^2-y-33}{y}\le 0.$$

   Найдём корни числителя:

   $$D=1+4\cdot 4\cdot 33=529,$$

   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 23}{8},$$

   откуда

   $$y_1=-\frac{11}{4},\qquad y_2=3.$$

   Тогда

   $$\frac{(4y-11)(y+3)}{y}\le 0.$$

   По методу интервалов получаем:

   $$y\le -\frac{11}{4}\quad \text{или}\quad 0<y\le 3.$$

   Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

   $$\log_4 x\le -\frac{11}{4}\quad \Rightarrow\quad 0<x\le 4^{-11/4},$$

   $$0<\log_4 x\le 3\quad \Rightarrow\quad 1<x\le 64.$$

2. Решим неравенство $$\log_x 3\le 4\left(1+\log_{1/3}x\right).$$

   Область определения: $$x>0,\ x\ne 1.$$

   Так как $$\log_{1/3}x=-\log_3 x,$$ а $$\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x},$$ то

   $$\frac{1}{\log_3 x}\le 4\left(1-\log_3 x\right).$$

   Положим $$y=\log_3 x$$. Тогда

   $$\frac{1}{y}\le 4(1-y),$$

   $$\frac{1-4y+4y^2}{y}\le 0,$$

   $$\frac{(2y-1)^2}{y}\le 0.$$

   Числитель неотрицателен, значит неравенство выполняется, когда

   $$y<0\quad \text{или}\quad y=\frac12.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем:

   $$\log_3 x<0 \Rightarrow 0<x<1,$$

   $$\log_3 x=\frac12 \Rightarrow x=\sqrt3.$$

Ответ

1) $$0<x\le 4^{-11/4},\ 1<x\le 64.$$

2) $$0<x<1,\ x=\sqrt3.$$