Упр.396 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

396. 1) log корень 6(х — 4) + log корень 6(x + 1) < = 2; 2) log3 корень 2 (x-5) + log3 корень 2(x + 12) < = 2 3) log3 (8x2 + x) > 2 + log3(x2) + log3x;
4) log2(x) + log2(x — 3) > log2(4);
5) log1/5(x — 10) — log1/5(x + 2) > = — 1;
6) log 1/корень 7(x + 10) + log 1/корень 7(x + 4) > -2.

1. $$\log_{\sqrt6}(x-4)+\log_{\sqrt6}(x+1)\le 2$$

   $$\log_{\sqrt6}\bigl((x-4)(x+1)\bigr)\le \log_{\sqrt6}6$$

   Так как $$\sqrt6>1,$$ получаем:
   $$ (x-4)(x+1)\le 6.$$

   $$x^2-3x-4\le 6$$
   $$x^2-3x-10\le 0$$
   $$ (x+2)(x-5)\le 0,$$
   откуда
   $$-2\le x\le 5.$$

   Учитываем область определения:
   $$x-4>0,\quad x+1>0,$$
   значит
   $$x>4.$$

   Тогда
   $$4<x\le 5.$$

2. $$\log_{3\sqrt2}(x-5)+\log_{3\sqrt2}(x+12)\le 2$$

   $$\log_{3\sqrt2}\bigl((x-5)(x+12)\bigr)\le \log_{3\sqrt2}18$$

   Так как $$3\sqrt2>1,$$ имеем:
   $$(x-5)(x+12)\le 18.$$

   $$x^2+7x-60\le 18$$
   $$x^2+7x-78\le 0$$
   $$ (x+13)(x-6)\le 0,$$
   откуда
   $$-13\le x\le 6.$$

   Область определения:
   $$x>5.$$

   Значит,
   $$5<x\le 6.$$

3. $$\log_3(8x^2+x)>2+\log_3 x^2+\log_3 x$$

   $$\log_3(8x^2+x)>\log_3(9x^3)$$

   Так как $$3>1,$$ получаем:
   $$8x^2+x>9x^3.$$

   $$9x^3-8x^2-x<0$$
   $$x(9x^2-8x-1)<0$$
   $$x(9x+1)(x-1)<0.$$

   С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
   $$0<x<1.$$

4. $$\log_2 x+\log_2(x-3)>\log_2 4$$

   $$\log_2\bigl(x(x-3)\bigr)>\log_2 4$$

   Так как $$2>1,$$ имеем:
   $$x(x-3)>4.$$

   $$x^2-3x-4>0$$
   $$ (x-4)(x+1)>0.$$

   С учётом области определения $$x>3$$ получаем:
   $$x>4.$$

5. $$\log_{1/5}(x-10)-\log_{1/5}(x+2)\ge -1$$

   $$\log_{1/5}\!\left(\frac{x-10}{x+2}\right)\ge \log_{1/5}\!\left(\frac15\right)^{-1}$$

   Так как основание $$\frac15<1,$$ знак неравенства меняется:
   $$\frac{x-10}{x+2}\le 5.$$

   $$x-10\le 5x+10$$
   $$-4x\le 20$$
   $$x\ge -5.$$

   Но область определения:
   $$x-10>0,\quad x+2>0,$$
   значит
   $$x>10.$$

   Следовательно,
   $$x>10.$$

6. $$\log_{1/\sqrt7}(x+10)+\log_{1/\sqrt7}(x+4)>-2$$

   $$\log_{1/\sqrt7}\bigl((x+10)(x+4)\bigr)>\log_{1/\sqrt7}\!\left(\frac1{\sqrt7}\right)^{-2}$$

   Так как $$\frac1{\sqrt7}<1,$$ получаем:
   $$(x+10)(x+4)<7.$$

   $$x^2+14x+40<7$$
   $$x^2+14x+33<0$$
   $$ (x+11)(x+3)<0,$$
   откуда
   $$-11<x<-3.$$

   Область определения:
   $$x>-10,\quad x>-4,$$
   значит
   $$x>-4.$$

   Тогда
   $$-4<x<-3.$$

Ответ

1) $$4<x\le 5$$;
2) $$5<x\le 6$$;
3) $$0<x<1$$;
4) $$x>4$$;
5) $$x>10$$;
6) $$-4<x<-3$$.