Упр.396 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

396. Решить неравенство:

     1) $$\log_{\sqrt{6}}(x-4)+\log_{\sqrt{6}}(x+1)\leq 2$$;

     2) $$\log_{3\sqrt{2}}(x-5)+\log_{3\sqrt{2}}(x+12)\leq 2$$;

     3) $$\log_{3}(8x^2+x)>2+\log_{3}(x^2)+\log_{3}x$$;

     4) $$\log_{2}x+\log_{2}(x-3)>\log_{2}4$$;

     5) $$\log_{\frac{1}{5}}(x-10)-\log_{\frac{1}{5}}(x+2)\geq -1$$;

     6) $$\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(x+10)+\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(x+4)>-2$$.

1) $$\log_{\sqrt6}(x-4)+\log_{\sqrt6}(x+1)\le 2$$

$$\log_{\sqrt6}\bigl((x-4)(x+1)\bigr)\le \log_{\sqrt6}6$$

Так как $$\sqrt6>1,$$ получаем

$$\begin{aligned} (x-4)(x+1)<=6,\\ x-4&>0,\\ x+1&>0. \end{aligned}$$

$$x^2-3x-10\le 0$$

$$(x-5)(x+2)\le 0 \Rightarrow -2\le x\le 5.$$

С учётом ОДЗ: $$x>4.$$

$$4<x\le 5.$$

2) $$\log_{3\sqrt2}(x-5)+\log_{3\sqrt2}(x+12)\le 2$$

$$\log_{3\sqrt2}\bigl((x-5)(x+12)\bigr)\le \log_{3\sqrt2}18$$

Так как $$3\sqrt2>1,$$ имеем

$$\begin{aligned} (x-5)(x+12)<=18,\\ x-5&>0,\\ x+12&>0. \end{aligned}$$

$$x^2+7x-78\le 0$$

$$(x+13)(x-6)\le 0 \Rightarrow -13\le x\le 6.$$

С учётом ОДЗ: $$x>5.$$

$$5<x\le 6.$$

3) $$\log_3(8x^2+x)>2+\log_3x^2+\log_3x$$

$$2=\log_3 9,\qquad \log_3x^2+\log_3x=\log_3(x^3)$$

Тогда

$$\log_3(8x^2+x)>\log_3(9x^3).$$

Так как $$3>1,$$ получаем

$$8x^2+x>9x^3.$$

$$9x^3-8x^2-x<0$$

$$x(9x^2-8x-1)<0$$

$$9x^2-8x-1=(9x+1)(x-1),$$

поэтому

$$x(9x+1)(x-1)<0.$$

С учётом ОДЗ $$8x^2+x>0$$ и $$x>0,$$ остаётся

$$0<x<1.$$

4) $$\log_2x+\log_2(x-3)>\log_24$$

$$\log_2\bigl(x(x-3)\bigr)>\log_24$$

Так как $$2>1,$$ имеем

$$x(x-3)>4.$$

$$x^2-3x-4>0$$

$$(x-4)(x+1)>0 \Rightarrow x<-1 \text{ или } x>4.$$

С учётом ОДЗ $$x>3,$$ получаем

$$x>4.$$

5) $$\log_{1/5}(x-10)-\log_{1/5}(x+2)\ge -1$$

$$\log_{1/5}\!\left(\frac{x-10}{x+2}\right)\ge \log_{1/5}\!\left(\frac15\right)^{-1}$$

Так как основание $$\frac15<1,$$ знак неравенства меняется:

$$\frac{x-10}{x+2}\le 5.$$

При $$x>10$$ знаменатель положителен, поэтому

$$x-10\le 5(x+2).$$

$$x-10\le 5x+10$$

$$-20\le 4x$$

$$x\ge -5.$$

С учётом ОДЗ $$x>10,$$ получаем

$$x>10.$$

6) $$\log_{1/\sqrt7}(x+10)+\log_{1/\sqrt7}(x+4)>-2$$

$$\log_{1/\sqrt7}\bigl((x+10)(x+4)\bigr)>\log_{1/\sqrt7}\!\left(\frac1{\sqrt7}\right)^{-2}$$

Так как $$\frac1{\sqrt7}<1,$$ знак меняется:

$$(x+10)(x+4)<\left(\frac1{\sqrt7}\right)^{-2}=7.$$

$$x^2+14x+40<7$$

$$x^2+14x+33<0$$

$$(x+11)(x+3)<0 \Rightarrow -11<x<-3.$$

С учётом ОДЗ $$x>-4,$$ получаем

$$-4<x<-3.$$

Ответ

1) $$x\in(4;5]$$; 2) $$x\in(5;6]$$; 3) $$x\in(0;1)$$; 4) $$x\in(4;+\infty)$$; 5) $$x\in(10;+\infty)$$; 6) $$x\in(-4;-3)$$.