Упр.391 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_3(x)+\log_9(x)+\log_{27}(x)=\frac{11}{12}$$
2. $$\log_3(x)+\log_{\sqrt{3}}(x)+\log_{\frac{1}{3}}(x)=6$$
3. $$\log_3(x)\cdot\log_2(x)=4\log_3(2)$$
4. $$\log_5(x)\cdot\log_3(x)=9\log_5(3)$$

1) $$\log_3 x+\log_9 x+\log_{27} x=\frac{11}{12}$$

Переходим к основанию $$3$$:

$$\log_9 x=\frac{1}{2}\log_3 x,\qquad \log_{27} x=\frac{1}{3}\log_3 x$$

Тогда

$$\log_3 x+\frac{1}{2}\log_3 x+\frac{1}{3}\log_3 x=\frac{11}{12}$$

$$\log_3 x\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{12}$$

$$\log_3 x\cdot \frac{11}{6}=\frac{11}{12}$$

$$\log_3 x=\frac{1}{2}$$

$$x=3^{1/2}=\sqrt{3}$$

2) $$\log_3 x+\log_{\sqrt{3}} x+\log_{1/3} x=6$$

Выразим все логарифмы через $$\log_3 x$$:

$$\log_{\sqrt{3}} x=\frac{\log_3 x}{\log_3 \sqrt{3}}=2\log_3 x,\qquad \log_{1/3} x=\frac{\log_3 x}{\log_3 (1/3)}=-\log_3 x$$

Тогда

$$\log_3 x+2\log_3 x-\log_3 x=6$$

$$2\log_3 x=6$$

$$\log_3 x=3$$

$$x=3^3=27$$

3) $$\log_3 x\cdot \log_2 x=4\log_3 2$$

Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда

$$\log_2 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 2}=\frac{t}{\log_3 2}$$

Подставим:

$$t\cdot \frac{t}{\log_3 2}=4\log_3 2$$

$$t^2=4(\log_3 2)^2$$

$$t=\pm 2\log_3 2$$

1) $$\log_3 x=2\log_3 2=\log_3 4$$, значит $$x=4$$.

2) $$\log_3 x=-2\log_3 2=\log_3 \frac{1}{4}$$, значит $$x=\frac{1}{4}$$.

4) $$\log_5 x\cdot \log_3 x=9\log_5 3$$

Пусть $$t=\log_5 x$$. Тогда

$$\log_3 x=\frac{\log_5 x}{\log_5 3}=\frac{t}{\log_5 3}$$

Подставим:

$$t\cdot \frac{t}{\log_5 3}=9\log_5 3$$

$$t^2=9(\log_5 3)^2$$

$$t=\pm 3\log_5 3$$

1) $$\log_5 x=3\log_5 3=\log_5 27$$, значит $$x=27$$.

2) $$\log_5 x=-3\log_5 3=\log_5 \frac{1}{27}$$, значит $$x=\frac{1}{27}$$.

Ответ

1) $$x=\sqrt{3}$$; 2) $$x=27$$; 3) $$x=4,\ \frac{1}{4}$$; 4) $$x=27,\ \frac{1}{27}$$.