Упр.391 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) log3(x) + log корень 3(x) + log1/3(х) = 6;
3) log3(x) * log2(x) = 4log3(2);
4) log5(x) * log3(x) = 9 log5(3).

Решение

1. $$\log_3 x+\log_9 x+\log_{27} x=\frac{11}{12}$$

   $$\log_9 x=\frac{1}{2}\log_3 x,\qquad \log_{27} x=\frac{1}{3}\log_3 x$$

   $$\log_3 x+\frac{1}{2}\log_3 x+\frac{1}{3}\log_3 x=\frac{11}{12}$$

   $$\log_3 x\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{12}$$

   $$\log_3 x\cdot \frac{11}{6}=\frac{11}{12}$$

   $$\log_3 x=\frac{1}{2}$$

   $$x=3^{1/2}=\sqrt{3}$$

2. $$\log_3 x+\log_{\sqrt{3}} x+\log_{1/3} x=6$$

   $$\log_{\sqrt{3}} x=2\log_3 x,\qquad \log_{1/3} x=-\log_3 x$$

   $$\log_3 x+2\log_3 x-\log_3 x=6$$

   $$2\log_3 x=6$$

   $$\log_3 x=3$$

   $$x=3^3=27$$

3. $$\log_3 x\cdot \log_2 x=4\log_3 2$$

   $$\log_2 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 2}$$

   $$\log_3 x\cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 2}=4\log_3 2$$

   $$(\log_3 x)^2=4(\log_3 2)^2$$

   $$\log_3 x=\pm 2\log_3 2$$

   $$\log_3 x=\log_3 2^2 \quad \text{или} \quad \log_3 x=\log_3 2^{-2}$$

   $$x=4 \quad \text{или} \quad x=\frac{1}{4}$$

4. $$\log_5 x\cdot \log_3 x=9\log_5 3$$

   $$\log_3 x=\frac{\log_5 x}{\log_5 3}$$

   $$\log_5 x\cdot \frac{\log_5 x}{\log_5 3}=9\log_5 3$$

   $$(\log_5 x)^2=9(\log_5 3)^2$$

   $$\log_5 x=\pm 3\log_5 3$$

   $$\log_5 x=\log_5 3^3 \quad \text{или} \quad \log_5 x=\log_5 3^{-3}$$

   $$x=27 \quad \text{или} \quad x=\frac{1}{27}$$

Ответ

1) $$\sqrt{3}$$; 2) $$27$$; 3) $$4,\ \frac{1}{4}$$; 4) $$27,\ \frac{1}{27}$$.