Упр.390 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 390. Решить уравнение:
1) $$3^{4x}=10$$;
2) $$2^{3x}=3$$;
3) $$1{,}3^{3x-2}=3$$;
4) $$\left(\frac{1}{3}\right)^{5+4x}=1{,}5$$;
5) $$16^x-4^{x+1}-14=0$$;
6) $$25^x+2\cdot5^x-15=0$$.
1) $$3^{4x}=10$$
$$4x=\log_3 10$$
$$x=\frac14\log_3 10$$
2) $$2^{3x}=3$$
$$3x=\log_2 3$$
$$x=\frac13\log_2 3$$
3) $$1{,}3^{\,3x-2}=3$$
$$3x-2=\log_{1{,}3} 3$$
$$x=\frac13\left(\log_{1{,}3} 3+2\right)$$
4) $$\left(\frac13\right)^{5+4x}=1{,}5$$
$$5+4x=\log_{1/3} 1{,}5$$
$$x=\frac14\left(\log_{1/3} 1{,}5-5\right)$$
5) $$16^x-4^{x+1}-14=0$$
Положим $$y=4^x$$. Тогда $$16^x=(4^x)^2=y^2$$, и получаем:
$$y^2-4y-14=0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-14)=72$$
$$y=\frac{4\pm\sqrt{72}}{2}=2\pm 3\sqrt2$$
Так как $$4^x>0$$, подходит только $$y=2+3\sqrt2$$. Тогда
$$4^x=2+3\sqrt2$$
$$x=\log_4(2+3\sqrt2)$$
6) $$25^x+2\cdot 5^x-15=0$$
Положим $$y=5^x$$. Тогда $$25^x=(5^x)^2=y^2$$, и получаем:
$$y^2+2y-15=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64$$
$$y=\frac{-2\pm 8}{2}$$
$$y_1=3,\quad y_2=-5$$
Так как $$5^x>0$$, подходит только $$y=3$$. Тогда
$$5^x=3$$
$$x=\log_5 3$$
Ответ
1) $$x=\frac14\log_3 10$$; 2) $$x=\frac13\log_2 3$$; 3) $$x=\frac13\left(\log_{1{,}3} 3+2\right)$$; 4) $$x=\frac14\left(\log_{1/3} 1{,}5-5\right)$$; 5) $$x=\log_4(2+3\sqrt2)$$; 6) $$x=\log_5 3$$.
