Упр.388 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ справедливо неравенство: 1) $$\log_x(8)<\log_x(10)$$; 2) $$\log_x\left(\frac{3}{4}\right)<\log_x\left(\frac{1}{2}\right)$$?

1) Рассмотрим неравенство $$\log_x 8<\log_x 10.$$

Так как $$8<10,$$ то знак неравенства между логарифмами зависит от основания $$x$$:

• если $$x>1,$$ то функция $$y=\log_x t$$ возрастает, и из $$8<10$$ следует $$\log_x 8<\log_x 10$$;
• если $$0<x<1,$$ то функция убывает, и неравенство было бы противоположным.

Значит, $$x>1.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\log_x \frac34<\log_x \frac12.$$

Здесь $$\frac34>\frac12,$$ поэтому для выполнения неравенства логарифмическая функция должна быть убывающей. Это возможно при

$$0<x<1.$$

Ответ: 1) $$x>1$$; 2) $$0<x<1$$.