Упр.385 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Сравнить числа:
   1) $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{3}\right)$$ и $$\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{2}\right)$$;
   2) $$2^{2\log_2 5+\log_{\frac{1}{9}}9}$$ и $$\sqrt{8}$$.

1) $$\log_{\frac12}\frac13 \text{ и } \log_{\frac13}\frac12$$

Преобразуем логарифмы:

$$\log_{\frac12}\frac13=\log_{2^{-1}}3^{-1}=-\log_2\frac13=\log_2 3,$$

$$\log_{\frac13}\frac12=\log_{3^{-1}}2^{-1}=-\log_3\frac12=\log_3 2.$$

Так как $$2<3,$$ то $$\log_2 3>1,$$ а $$\log_3 2<1.$$ Следовательно,

$$\log_{\frac12}\frac13>\log_{\frac13}\frac12.$$

2) $$2^{2\log_2 5+\log_{\frac19}9} \text{ и } \sqrt{8}$$

Преобразуем показатель степени:

$$\log_{\frac19}9=\log_{9^{-1}}9=-1,$$

тогда

$$2^{2\log_2 5+\log_{\frac19}9}=2^{2\log_2 5-1}=\frac{2^{2\log_2 5}}{2}=\frac{(2^{\log_2 5})^2}{2}=\frac{25}{2}.$$

Сравним:

$$\frac{25}{2}=12{,}5,\qquad \sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$

Значит,

$$2^{2\log_2 5+\log_{\frac19}9}>\sqrt{8}.$$

Ответ

1) $$\log_{\frac12}\frac13>\log_{\frac13}\frac12$$

2) $$2^{2\log_2 5+\log_{\frac19}9}>\sqrt{8}$$