Упр.385 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) log1/2(1/3) и log1/3(1/2);
1) 2^(2log2(5) + log1/9(9)) и корень 8.

1) Преобразуем логарифмы к удобному виду:

$$\log_{\frac12}\frac13=\log_{2^{-1}}3^{-1}=-\log_2\frac13=\log_2 3,$$

$$\log_{\frac13}\frac12=\log_{3^{-1}}2^{-1}=-\log_3\frac12=\log_3 2.$$

Так как $$2<3,$$ то $$\log_2 3>1,$$ а значит $$\log_3 2<1.$$ Следовательно,

$$\log_{\frac12}\frac13>\log_{\frac13}\frac12.$$

2) Упростим первое число:

$$2^{2\log_2 5+\log_{\frac19}9}=2^{2\log_2 5}\cdot 2^{\log_{\frac19}9}.$$

Так как $$2^{2\log_2 5}=(2^{\log_2 5})^2=5^2=25,$$ а

$$\log_{\frac19}9=-1,$$ значит

$$2^{\log_{\frac19}9}=2^{-1}=\frac12.$$

Тогда

$$2^{2\log_2 5+\log_{\frac19}9}=\frac{25}{2}.$$

Сравним:

$$\frac{25}{2}>\sqrt{8},$$

так как $$\frac{25}{2}=12{,}5,$$ а $$\sqrt{8}\approx 2{,}83.$$

Ответ

1) $$\log_{\frac12}\frac13>\log_{\frac13}\frac12$$

2) $$2^{2\log_2 5+\log_{\frac19}9}>\sqrt{8}$$