Упр.383 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\lg(x^2+2x+2)<1$$
2. $$\log_3(x^2+7x-5)>1$$

1) Рассмотрим неравенство $$\lg(x^2+2x+2)<1.$$

Так как $$1=\lg 10,$$ а основание логарифма больше $$1$$, получаем:

$$x^2+2x+2<10,$$

при условии

$$x^2+2x+2>0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$x^2+2x-8<0.$$

Найдём корни уравнения $$x^2+2x-8=0$$:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2},$$

откуда

$$x_1=-4,\quad x_2=2.$$

Тогда

$$-4<x<2.$$

Проверим область определения:

$$x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0$$

при любом $$x$$, значит ограничений нет.

Итак,

$$-4<x<2.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\log_3(x^2+7x-5)>1.$$

Так как $$1=\log_3 3,$$ а основание $$3>1$$, получаем:

$$x^2+7x-5>3,$$

при условии

$$x^2+7x-5>0.$$

Из первого неравенства:

$$x^2+7x-8>0.$$

Решим уравнение $$x^2+7x-8=0$$:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-8)=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2},$$

откуда

$$x_1=-8,\quad x_2=1.$$

Тогда

$$x<-8 \quad \text{или} \quad x>1.$$

Проверим область определения:

$$x^2+7x-5>0.$$

Решим уравнение $$x^2+7x-5=0$$:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-5)=69,$$

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm \sqrt{69}}{2}.$$

Приближённо:

$$x_1\approx -7{,}6,\quad x_2\approx 0{,}6.$$

Тогда

$$x<-7{,}6 \quad \text{или} \quad x>0{,}6.$$

Пересечение с условием $$x<-8 \text{ или } x>1$$ даёт:

$$x<-8 \quad \text{или} \quad x>1.$$

Ответ

1) $$-4<x<2.$$
2) $$x<-8,\; x>1.$$