Упр.379 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\lg(x^2-2x)=\lg 30-1$$
2. $$\log_3(2x^2+x)=\log_3 6-\log_3 2$$
3. $$\lg^2(x)-3\lg(x)=4$$
4. $$\log_2^2(x)-5\log_2(x)+6=0$$

1) $$\lg(x^2-2x)=\lg 30-1$$

Так как $$1=\lg 10,$$ то

$$\lg(x^2-2x)=\lg 30-\lg 10=\lg 3.$$

Тогда

$$x^2-2x=3,$$

$$x^2-2x-3=0,$$

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0.$$

Получаем $$x=3$$ или $$x=-1.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x^2-2x>0.$$

При $$x=3$$: $$9-6=3>0,$$ при $$x=-1$$: $$1+2=3>0.$$ Оба корня подходят.

2) $$\log_3(2x^2+x)=\log_3 6-\log_3 2$$

$$\log_3(2x^2+x)=\log_3 3.$$

Следовательно,

$$2x^2+x=3,$$

$$2x^2+x-3=0,$$

$$\left(2x+3\right)\left(x-1\right)=0.$$

Отсюда $$x=-\frac{3}{2}$$ или $$x=1.$$

Проверим ОДЗ:

$$2x^2+x>0.$$

При обоих значениях выражение положительно, значит оба корня подходят.

3) $$\lg^2 x-3\lg x=4$$

Пусть $$t=\lg x.$$ Тогда

$$t^2-3t-4=0,$$

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)=0.$$

Значит, $$t=4$$ или $$t=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\lg x=4 \Rightarrow x=10^4=10000,$$

$$\lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}=0{,}1.$$

4) $$\log_2^2 x-5\log_2 x+6=0$$

Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда

$$t^2-5t+6=0,$$

$$\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0.$$

Следовательно, $$t=2$$ или $$t=3.$$

Тогда

$$\log_2 x=2 \Rightarrow x=2^2=4,$$

$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=2^3=8.$$

Ответ

1) $$-1; 3$$
2) $$-\frac{3}{2}; 1$$
3) $$0{,}1; 10000$$
4) $$4; 8$$