Упр.379 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) log3 (2×2 + x) = log3(6) — log3(2);
3) lg2(x) — 3lgx = 4;
4) log2x — 5 log2(x) + 6 = 0.

1. $$\lg(x^2-2x)=\lg 30-1$$

   Так как $$1=\lg 10,$$ то

   $$\lg(x^2-2x)=\lg 30-\lg 10=\lg 3.$$

   Тогда

   $$x^2-2x=3,$$

   $$x^2-2x-3=0.$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$

   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$

   Получаем:

   $$x_1=-1,\quad x_2=3.$$

   Проверка области определения:

   $$x^2-2x>0 \;\Rightarrow\; x(x-2)>0 \;\Rightarrow\; x<0 \text{ или } x>2.$$

   Оба корня подходят.

2. $$\log_3(2x^2+x)=\log_3 6-\log_3 2$$

   $$\log_3(2x^2+x)=\log_3 3.$$

   Следовательно,

   $$2x^2+x=3,$$

   $$2x^2+x-3=0.$$

   $$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4}.$$

   Получаем:

   $$x_1=-\frac{3}{2},\quad x_2=1.$$

   Проверка области определения:

   $$2x^2+x>0 \;\Rightarrow\; x(2x+1)>0 \;\Rightarrow\; x<-\frac12 \text{ или } x>0.$$

   Оба корня подходят.

3. $$(\lg x)^2-3\lg x=4$$

   Положим $$t=\lg x.$$ Тогда

   $$t^2-3t-4=0.$$

   $$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=25,$$

   $$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}.$$

   Получаем:

   $$t_1=4,\quad t_2=-1.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\lg x=4 \Rightarrow x=10^4=10000,$$

   $$\lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}=0{,}1.$$

4. $$(\log_2 x)^2-5\log_2 x+6=0$$

   Положим $$t=\log_2 x.$$ Тогда

   $$t^2-5t+6=0.$$

   $$D=5^2-4\cdot 1\cdot 6=1,$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}.$$

   Получаем:

   $$t_1=2,\quad t_2=3.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_2 x=2 \Rightarrow x=2^2=4,$$

   $$\log_2 x=3 \Rightarrow x=2^3=8.$$

Ответ

1) $$x=-1,\; 3$$

2) $$x=-\frac{3}{2},\; 1$$

3) $$x=0{,}1,\; 10000$$

4) $$x=4,\; 8$$