Упр.378 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 378. Решить уравнение: а) $$\log_{\frac{1}{2}}(7-8x)=-2$$; б) $$\lg(x^2-2)=\lg x$$.

1) $$\log_{\frac12}(7-8x)=-2$$

По определению логарифма:

$$7-8x=\left(\frac12\right)^{-2}=4$$

$$8x=3$$

$$x=\frac38$$

Проверим область допустимых значений:

$$7-8x>0 \;\Rightarrow\; x<\frac78$$

Полученное значение подходит.

Ответ: $$\frac38$$

2) $$\lg(x^2-2)=\lg x$$

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы:

$$x^2-2=x$$

$$x^2-x-2=0$$

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$$

$$x=2 \;\text{или}\; x=-1$$

Учитываем область допустимых значений:

$$x^2-2>0,\quad x>0$$

Из найденных корней условию удовлетворяет только $$x=2$$.

Ответ: $$2$$