Упр.374 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Построить график функции: 1) $$y=\log_4(x)$$; 2) $$y=\log_{\frac{1}{4}}(x)$$. Какая из данных функций является возрастающей? убывающей? При каких значениях $$x$$ каждая функция принимает положительные значения? отрицательные значения? значения, равные нулю?

Для логарифмической функции $$y=\log_a x$$ при $$a>1$$ график возрастает, а при $$0<a<1$$ — убывает. Обе функции имеют область определения $$x>0$$ и проходят через точку $$\left(1,0\right)$$.

1) $$y=\log_4 x$$

Так как $$4>1$$, функция возрастает.

Найдём несколько точек для построения графика:

Следовательно, график проходит через точки $$\left(1,0\right)$$, $$\left(4,1\right)$$, $$\left(16,2\right)$$.

Знаки функции:

• $$\log_4 x>0$$ при $$x>1$$;
• $$\log_4 x=0$$ при $$x=1$$;
• $$\log_4 x<0$$ при $$0<x<1$$.

2) $$y=\log_{\frac14} x$$

Так как $$0<\frac14<1$$, функция убывает.

Найдём несколько точек для построения графика:

Следовательно, график проходит через точки $$\left(1,0\right)$$, $$\left(4,-1\right)$$, $$\left(16,-2\right)$$.

Знаки функции:

• $$\log_{\frac14} x>0$$ при $$0<x<1$$;
• $$\log_{\frac14} x=0$$ при $$x=1$$;
• $$\log_{\frac14} x<0$$ при $$x>1$$.

Ответ

$$y=\log_4 x$$ — возрастающая функция; $$y=\log_{\frac14} x$$ — убывающая.

$$y=\log_4 x>0$$ при $$x>1$$, $$=0$$ при $$x=1$$, $$<0$$ при $$0<x<1$$.

$$y=\log_{\frac14} x>0$$ при $$0<x<1$$, $$=0$$ при $$x=1$$, $$<0$$ при $$x>1$$.