Упр.374 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = log4(х); 2) у = log1/4(х).
Какая из данных функций является возрастающей? убывающей? При каких значениях х каждая функция принимает положительные значения? отрицательные значения? значения, равные нулю?

Рассмотрим свойства логарифмической функции $$y=\log_a x$$.

Если $$a>1$$, то функция возрастает; если $$0<a<1$$, то функция убывает. Во всех случаях область определения: $$x>0$$, множество значений: $$y\in \mathbb{R}$$.

1. $$y=\log_4 x$$

   Так как $$4>1$$, функция возрастает.

   Найдём характерные точки:

   $$x$$	$$1$$	$$4$$	$$16$$
   $$y$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$

   Следовательно, график проходит через точки $$\left(1,0\right)$$, $$\left(4,1\right)$$, $$\left(16,2\right)$$ и имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$.

   Знаки функции:

   • $$\log_4 x>0$$ при $$x>1$$;
   • $$\log_4 x<0$$ при $$0<x<1$$;
   • $$\log_4 x=0$$ при $$x=1$$.

2. $$y=\log_{\frac14} x$$

   Так как $$0<\frac14<1$$, функция убывает.

   Найдём характерные точки:

   $$x$$	$$1$$	$$4$$	$$16$$
   $$y$$	$$0$$	$$-1$$	$$-2$$

   Следовательно, график проходит через точки $$\left(1,0\right)$$, $$\left(4,-1\right)$$, $$\left(16,-2\right)$$ и имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$.

   Знаки функции:

   • $$\log_{\frac14} x>0$$ при $$0<x<1$$;
   • $$\log_{\frac14} x<0$$ при $$x>1$$;
   • $$\log_{\frac14} x=0$$ при $$x=1$$.

Ответ

$$y=\log_4 x$$ — возрастающая функция, $$y=\log_{\frac14} x$$ — убывающая.

$$y=\log_4 x>0$$ при $$x>1$$, $$y=\log_4 x<0$$ при $$0<x<1$$, $$y=0$$ при $$x=1$$.

$$y=\log_{\frac14} x>0$$ при $$0<x<1$$, $$y=\log_{\frac14} x<0$$ при $$x>1$$, $$y=0$$ при $$x=1$$.