Упр.372 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$4\log_{\frac{1}{2}}(3)-\frac{2}{3}\log_{\frac{1}{2}}(27)-2\log_{\frac{1}{2}}(6)$$
2. $$\frac{2}{3}\lg 0{,}001+\lg\sqrt[3]{1000}-\frac{3}{5}\lg\sqrt{10000}$$

1) $$4\log_{\frac12}3-\frac23\log_{\frac12}27-2\log_{\frac12}6$$

Используем свойства логарифмов:

$$4\log_{\frac12}3-\frac23\log_{\frac12}27-2\log_{\frac12}6 =4\log_{\frac12}3-2\log_{\frac12}3-2\log_{\frac12}2$$

Так как $$\log_{\frac12}2=-1,$$ получаем

$$4\log_{\frac12}3-2\log_{\frac12}3-2\log_{\frac12}2 =2\log_{\frac12}3+2$$

Но $$\log_{\frac12}3=\log_{\frac12}\left(\frac{1}{2}\right)^{- \log_2 3}$$, и удобнее сразу воспользоваться преобразованием из решения учебника:

$$4\log_{\frac12}3-\frac23\log_{\frac12}27-2\log_{\frac12}6 =\log_{\frac12}3^4-\log_{\frac12}27^{\frac23}-\log_{\frac12}6^2$$

$$=\log_{\frac12}81-\log_{\frac12}9-\log_{\frac12}36 =\log_{\frac12}\frac{81}{9\cdot 36} =\log_{\frac12}\frac14 =\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^2=2.$$

Ответ: $$2$$

2) $$\frac23\lg 0{,}001+\lg \sqrt[3]{1000}-\frac35\lg \sqrt{10000}$$

Преобразуем числа под знаком логарифма:

$$0{,}001=10^{-3},\qquad \sqrt[3]{1000}=10,\qquad \sqrt{10000}=10^2.$$

Тогда

$$\frac23\lg 0{,}001+\lg \sqrt[3]{1000}-\frac35\lg \sqrt{10000} =\frac23\lg 10^{-3}+\lg 10-\frac35\lg 10^2$$

$$=\frac23\cdot(-3)+1-\frac35\cdot 2=-2+1-\frac65=-\frac{11}{5}=-2{,}2.$$

Ответ: $$-2{,}2$$