Упр.365 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) $$\frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}<1.$$
Положим $$t=\lg x.$$ Тогда
$$\frac{1}{5-t}+\frac{2}{1+t}-1<0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{1+t+2(5-t)-(5-t)(1+t)}{(5-t)(1+t)}<0,$$
$$\frac{t^2-5t+6}{(5-t)(1+t)}<0,$$
$$\frac{(t-2)(t-3)}{(5-t)(1+t)}<0.$$
Критические точки: $$t=-1,\;2,\;3,\;5.$$
Решение неравенства:
$$t<-1,\quad 2<t<3,\quad t>5.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\lg x<-1 \Rightarrow 0<x<0{,}1,$$
$$2<\lg x<3 \Rightarrow 100<x<1000,$$
$$\lg x>5 \Rightarrow x>100000.$$
Ответ: $$0<x<0{,}1;\;100<x<1000;\;x>100000.$$
2) $$\log_3(2-3^{-x})<x+1-\log_3 4.$$
Преобразуем правую часть:
$$x+1=\log_3 3^x+\log_3 3=\log_3 3^{x+1},$$
поэтому
$$\log_3(2-3^{-x})<\log_3\frac{3^{x+1}}{4}.$$
Так как основание $$3>1$$, получаем
$$2-3^{-x}<\frac{3^{x+1}}{4}.$$
Умножим на $$4\cdot 3^x>0$$:
$$8\cdot 3^x-4<3\cdot 3^{2x},$$
$$3\cdot 3^{2x}-8\cdot 3^x+4>0.$$
Пусть $$y=3^x$$, тогда
$$3y^2-8y+4>0.$$
$$D=64-48=16,$$
$$y_1=\frac{8-4}{6}=\frac{2}{3},\qquad y_2=\frac{8+4}{6}=2.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$y<\frac{2}{3}\quad \text{или}\quad y>2.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$3^x<\frac{2}{3}\Rightarrow x<\log_3\frac{2}{3},$$
$$3^x>2\Rightarrow x>\log_3 2.$$
Кроме того, область определения:
$$2-3^{-x}>0 \Rightarrow 3^{-x}<2 \Rightarrow x>\log_3\frac12.$$
Итак,
Ответ: $$\log_3\frac12<x<\log_3\frac23;\;x>\log_3 2.$$
3) $$\log_{x^2-3}(4x+7)>0.$$
Для логарифма с основанием больше 1 имеем:
$$\log_{x^2-3}(4x+7)>\log_{x^2-3}1.$$
Значит, нужно выполнить условия:
$$x^2-3>1,\qquad 4x+7>1.$$
Отсюда
$$x^2>4 \Rightarrow x<-2 \text{ или } x>2,$$
$$4x>-6 \Rightarrow x>-\frac32.$$
Пересечение даёт:
$$x>2.$$
Проверка области определения: $$x^2-3>0$$ и $$4x+7>0$$ при $$x>2$$ выполняются.
Ответ: $$x>2.$$
4) $$\log_{\frac{x-1}{5x-6}}(\sqrt6-2x)<0.$$
Так как $$\log_a b<0$$ при $$a>1,\;0<b<1$$ или при $$0<a<1,\;b>1$$, рассмотрим оба случая.
1-й случай:
$$\frac{x-1}{5x-6}>1,\qquad 0<\sqrt6-2x<1.$$
Из неравенства для основания:
$$\frac{x-1}{5x-6}-1>0,$$
$$\frac{5-4x}{5x-6}>0,$$
$$\frac{4x-5}{5x-6}<0,$$
откуда
$$\frac65<x<\frac54.$$
Из условия на аргумент:
$$0<\sqrt6-2x<1,$$
$$x<\frac{\sqrt6}{2},\qquad x>\frac{\sqrt6-1}{2}.$$
Пересечение даёт
$$\frac65<x<\frac{\sqrt6}{2}.$$
2-й случай:
$$0<\frac{x-1}{5x-6}<1,\qquad \sqrt6-2x>1.$$
Из условия на основание:
$$\frac{x-1}{5x-6}>0 \Rightarrow x<1 \text{ или } x>\frac65,$$
$$\frac{x-1}{5x-6}<1 \Rightarrow \frac{4x-5}{5x-6}>0.$$
Совместно получаем
$$x<\frac{\sqrt6-1}{2}.$$
Но из $$\sqrt6-2x>1$$ следует
$$x<\frac{\sqrt6-1}{2},$$
что уже учтено.
Итак, итоговое решение:
Ответ: $$x<\frac{\sqrt6-1}{2};\;\frac65<x<\frac{\sqrt6}{2}.$$
