Упр.364 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) log^2 0,1(x) + 3log0,1(x) > 4.

1. Решим неравенство $$\log^2_{0,2}x-5\log_{0,2}x<-6.$$

   Перенесём всё в левую часть и сделаем замену $$t=\log_{0,2}x$$:

   $$t^2-5t+6<0.$$

   Разложим на множители:

   $$\left(t-2\right)\left(t-3\right)<0.$$

   Отсюда

   $$2<t<3.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$2<\log_{0,2}x<3.$$

   Так как $$0<0,2<1,$$ знак неравенств при переходе к основанию меняется:

   $$0,2^3<x<0,2^2.$$

   Следовательно,

   $$0,008<x<0,04.$$

2. Решим неравенство $$\log^2_{0,1}x+3\log_{0,1}x>4.$$

   Перенесём всё в левую часть и сделаем замену $$t=\log_{0,1}x$$:

   $$t^2+3t-4>0.$$

   Разложим на множители:

   $$\left(t+4\right)\left(t-1\right)>0.$$

   Отсюда

   $$t<-4 \quad \text{или} \quad t>1.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_{0,1}x<-4 \quad \text{или} \quad \log_{0,1}x>1.$$

   Так как $$0<0,1<1,$$ получаем:

   $$x>0,1^{-4}=10000 \quad \text{или} \quad x<0,1.$$

   С учётом области определения $$x>0$$ имеем:

   $$0<x<0,1 \quad \text{или} \quad x>10000.$$

Ответ

1) $$x\in(0,008;0,04)$$

2) $$x\in(0;0,1)\cup(10000;+\infty)$$