Упр.363 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1) $$\log_{0,2}(x)-\log_{5}(x-2)<\log_{0,2}(3)$$; 2) $$\lg x-\log_{0,1}(x-1)>\log_{0,1}(0,5)$$.

1. $$\log_{0,2}x-\log_{5}(x-2)<\log_{0,2}3$$

   Так как $$5=(0,2)^{-1},$$ то

   $$\log_{5}(x-2)=\log_{(0,2)^{-1}}(x-2)=-\log_{0,2}(x-2).$$

   Тогда

   $$\log_{0,2}x+\log_{0,2}(x-2)<\log_{0,2}3,$$

   $$\log_{0,2}\bigl(x(x-2)\bigr)<\log_{0,2}3.$$

   Так как $$0<0,2<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

   $$x(x-2)>3.$$

   $$x^2-2x-3>0,$$

   $$(x-3)(x+1)>0.$$

   С учётом области определения:

   $$x>0,\quad x-2>0 \Rightarrow x>2.$$

   Решение квадратного неравенства даёт $$x<-1$$ или $$x>3,$$ а с ОДЗ остаётся

   $$x>3.$$

2. $$\lg x-\log_{0,1}(x-1)>\log_{0,1}0,5$$

   Так как $$0,1=10^{-1},$$ то

   $$\log_{0,1}(x-1)=\log_{10^{-1}}(x-1)=-\lg(x-1),$$

   а также

   $$\log_{0,1}0,5=\log_{10^{-1}}\frac12=-\lg\frac12=\lg 2.$$

   Тогда

   $$\lg x+\lg(x-1)>\lg 2,$$

   $$\lg\bigl(x(x-1)\bigr)>\lg 2.$$

   Так как основание $$10>1,$$ получаем

   $$x(x-1)>2,$$

   $$x^2-x-2>0,$$

   $$(x-2)(x+1)>0.$$

   С учётом области определения:

   $$x>0,\quad x-1>0 \Rightarrow x>1.$$

   Из неравенства получаем $$x<-1$$ или $$x>2,$$ значит с ОДЗ остаётся

   $$x>2.$$

Ответ: 1) $$x>3$$; 2) $$x>2$$.