Упр.363 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) lg x — log0,1 (x — 1) > log0,1 (0,5).

1. $$\log_{0,2}x-\log_5(x-2)<\log_{0,2}3.$$

   Так как $$5=0,2^{-1},$$ то
   $$\log_5(x-2)=\log_{0,2}^{-1}(x-2)=-\log_{0,2}(x-2).$$
   Тогда
   $$\log_{0,2}x+\log_{0,2}(x-2)<\log_{0,2}3,$$ $$\log_{0,2}\bigl(x(x-2)\bigr)<\log_{0,2}3.$$

   Поскольку $$0,2<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит
   $$x(x-2)>3.$$
   Получаем
   $$x^2-2x-3>0,$$
   $$ (x-3)(x+1)>0.$$

   С учётом области определения:
   $$x>0,\quad x-2>0,$$
   то есть $$x>2.$$
   Пересечение с решением неравенства даёт
   $$x>3.$$

2. $$\lg x-\log_{0,1}(x-1)>\log_{0,1}0,5.$$

   Так как $$0,1=10^{-1},$$ то
   $$\log_{0,1}(x-1)=-\lg(x-1),\qquad \log_{0,1}0,5=-\lg 2.$$
   Тогда
   $$\lg x+\lg(x-1)>\lg 2,$$
   $$\lg\bigl(x(x-1)\bigr)>\lg 2.$$

   Поскольку основание $$10>1,$$ получаем
   $$x(x-1)>2,$$
   $$x^2-x-2>0,$$
   $$ (x-2)(x+1)>0.$$

   С учётом области определения:
   $$x>0,\quad x-1>0,$$
   то есть $$x>1.$$
   Тогда из неравенства остаётся
   $$x>2.$$

Ответ

1) $$x>3$$; 2) $$x>2$$.