Упр.362 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) log3 log1/2(x2 — 1) < 1.

1. $$\log_{\frac13}\log_2 x^2>0$$

   Так как $$0<\frac13<1,$$ то

   $$\log_2 x^2<1.$$

   Кроме того, выражение имеет смысл при

   $$\log_2 x^2>0.$$

   Решаем систему:

   $$ \begin{cases} \log_2 x^2<1,\\ \log_2 x^2>0 \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x^2<2,\\ x^2>1 \end{cases} $$

   Отсюда

   $$- \sqrt2<x<-1 \quad \text{или} \quad 1<x<\sqrt2.$$

2. $$\log_3\log_{\frac12}(x^2-1)<1$$

   Так как $$3>1,$$ то

   $$\log_{\frac12}(x^2-1)<1.$$

   При этом область определения задаётся условиями

   $$x^2-1>0.$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ то

   $$\log_{\frac12}(x^2-1)<1 \iff x^2-1>\left(\frac12\right)^1=\frac12,$$

   но нужно учесть, что при основании $$\frac12<1$$ знак неравенства при переходе к аргументу меняется:

   $$\log_{\frac12}(x^2-1)<1 \iff x^2-1>\frac12.$$

   Однако из условия существования логарифма также имеем $$x^2-1>0.$$

   Совместно получаем более сильное условие:

   $$x^2-1>\frac12,$$

   то есть

   $$x^2>\frac32.$$

   Следовательно,

   $$x<-\sqrt{\frac32} \quad \text{или} \quad x>\sqrt{\frac32}.$$

Ответ

1) $$x\in(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)$$

2) $$x\in\left(-\infty;-\sqrt{\frac32}\right)\cup\left(\sqrt{\frac32};+\infty\right)$$