Упр.362 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{\frac{1}{3}}\log_2(x^2)>0$$
2. $$\log_3\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)<1$$

1) Рассмотрим неравенство $$\log_{\frac13}\log_2 x^2>0.$$

Так как $$0<\frac13<1,$$ то

$$\log_2 x^2<1.$$

Кроме того, выражение должно быть определено:

$$\log_2 x^2>0.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} \log_2 x^2<1,\\ \log_2 x^2>0. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} x^2<2,\\ x^2>1. \end{cases}$$

Значит,

$$- \sqrt2<x<-1 \quad \text{или} \quad 1<x<\sqrt2.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\log_3\log_{\frac12}(x^2-1)<1.$$

Так как $$3>1,$$ то

$$\log_{\frac12}(x^2-1)<3.$$

Область определения и знак внутреннего логарифма дают:

$$\log_{\frac12}(x^2-1)>0.$$

Следовательно, нужно решить систему:

$$\begin{cases} \log_{\frac12}(x^2-1)<3,\\ \log_{\frac12}(x^2-1)>0. \end{cases}$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ то при переходе к показательной форме знаки неравенств меняются:

$$\begin{cases} x^2-1>\left(\frac12\right)^3,\\ x^2-1<1. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} x^2>\frac98,\\ x^2<2. \end{cases}$$

Отсюда

$$- \sqrt2<x<- \frac{3}{2\sqrt2} \quad \text{или} \quad \frac{3}{2\sqrt2}<x<\sqrt2.$$

Ответ: 1) $$x\in(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2);$$ 2) $$x\in\left(-\sqrt2;-\frac{3}{2\sqrt2}\right)\cup\left(\frac{3}{2\sqrt2};\sqrt2\right).$$